Question

Упростить выражение (1-sin^2 a)(1+tg^2 a)​

Answer 1

Упрощение показано на фото в приложении.

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы заменить квадраты синуса и тангенса. Воспользуемся следующими тождествами:

1. $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ - тождество Пифагора для синуса и косинуса.
2. $\tan^2 a + 1 = \sec^2 a$ - тождество для тангенса и секанса.

Итак, начнем:

$(1 - \sin^2 a)(1 + \tan^2 a)$

Перепишем $\tan^2 a$ с помощью тождества для тангенса и секанса:

$(1 - \sin^2 a)(1 + \sec^2 a)$

Теперь заменим $\sec^2 a$ на $\frac{1}{\cos^2 a}$, используя тождество Пифагора:

$(1 - \sin^2 a)\left(1 + \frac{1}{\cos^2 a}\right)$

Мы знаем, что $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$, поэтому можем заменить $\sin^2 a$ на $1 - \cos^2 a$:

$(1 - (1 - \cos^2 a))\left(1 + \frac{1}{\cos^2 a}\right)$

Упростим скобки:

$(1 - 1 + \cos^2 a)\left(1 + \frac{1}{\cos^2 a}\right)$

Остается:

$\cos^2 a \cdot \left(1 + \frac{1}{\cos^2 a}\right)$

Теперь упростим выражение в скобках:

$\cos^2 a + \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a}$

Так как $\frac{\cos^2 a}{\cos^2 a} = 1$, то остается:

$\cos^2 a + 1$

Таким образом, упрощенное выражение равно $\cos^2 a + 1$.