Question

Найдите производную третьего порядка. f(x)=1/x+sinx

Answer 1

$f(x)=\frac{1}{x+sinx}\; \; ,\quad (\frac{1}u})'=-\frac{u'}{u^2}\\\\f'(x)=-\frac{(x+sinx)'}{(x+sinx)^2}=-\frac{1+cosx}{(x+sinx)^2}\\\\f''(x)=-\frac{-sinx(x+sinx)^2-(1+cosx)\cdot 2(x+sinx)\cdot (1+cosx)}{(x+sinx)^4}=\frac{sinx\cdot (x+sinx)+2\cdot (1+cosx)^2}{(x+sinx)^3}\\\\f'''(x)=\frac{1}{(x+sinx)^3}\cdot \Big [\Big (cosx(x+sinx)+sinx(1+cosx)-\\\\-4(1+cosx)\cdot sinx\Big )(x+sinx)^3-\Big (sinx\cdot (x+sinx)+2\cdot (1+cosx)^2\Big )\times \\\\\times 3(x+sinx)^2\cdot (1+cosx)\Big ]$

Answer 2

Для нахождения производной третьего порядка функции f(x) = 1/x + sin(x) нужно последовательно найти первую, вторую и третью производные.

Для удобства будем использовать правила дифференцирования:

1. (d/dx) [c] = 0 (производная константы равна нулю)
2. (d/dx) [x^n] = n * x^(n-1) (степенное правило дифференцирования)
3. (d/dx) [sin(x)] = cos(x) (производная синуса)
4. (d/dx) [1/x] = -1/x^2 (производная обратной функции)

Найдем производные первого, второго и третьего порядков:

1. Первая производная: f'(x) = (d/dx) [1/x + sin(x)] f'(x) = -1/x^2 + cos(x)

2. Вторая производная: f''(x) = (d/dx) [-1/x^2 + cos(x)] f''(x) = 2/x^3 - sin(x)

3. Третья производная: f'''(x) = (d/dx) [2/x^3 - sin(x)] f'''(x) = -6/x^4 - cos(x)

Итак, производная третьего порядка функции f(x) = 1/x + sin(x) равна -6/x^4 - cos(x).