Question

Сколько существует 8-значных чисел, сумма цифр которых нечетна? Помогите пожалуйста решить. Желательно по формулам комбинаторики.

Answer 1

В каждом из 8 разрядов могут располагаться четные числа 0,2,4,6,8 и нечетные числа 1,3,5,7,9.

Посчитаем, столько четных и нечетных сумм можно получить. Для этого запишем количество четных и нечетных чисел в каждом разряде в виде 5i+5j, где i - четные числа, а j нечетные числа.

При последовательном сложении всех возможных чисел в двух разрядах получим:

(5i+5j)(5i+5j)=5^2i+5^2ij+5^2ij+5^2j

Четное число при сложении с нечетным образует четное число, в остальных случаях образуется четное число, следовательно:

5^2i+5^2j=2*5^2i

5^2ij+5^2ij=2*5^2j

То есть при сложении чисел  из двух разрядов (от 00 до 99)образуется 50 четных и 50 нечетных чисел. То есть количество четных/нечетных  чисел, полученных в результате суммы, тождественно количеству четных/нечетных чисел от 0 до 99. Прибавляя числа из других разрядов, легко заметить, что это тождество сохраняется. Таким образом, задача сводится к вычислению количества нечетных чисел на участке от 10000000 до 99999999.

50000000-9999999=40000001

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся комбинаторикой и методами перестановок и сочетаний.

Чтобы найти количество 8-значных чисел, сумма цифр которых нечетна, разобъем задачу на несколько случаев:

1. Число заканчивается на нечетную цифру.
2. Число заканчивается на четную цифру.

Для случая 1: Число заканчивается на нечетную цифру. Мы можем выбрать последнюю цифру числа из 5 нечетных цифр (1, 3, 5, 7 или 9). Остальные 7 цифр можно выбрать из 10 возможных цифр (0-9). Поскольку число не может начинаться с нуля, мы не можем выбрать первую цифру из 0. Поэтому первую цифру можно выбрать из 9 цифр (1-9). Итак, для данного случая число возможных чисел:

Варианты выбора последней цифры: 5 Варианты выбора первой цифры: 9 Варианты выбора остальных 6 цифр: 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10

Итого: 5 * 9 * 10^6 = 4,500,000

Для случая 2: Число заканчивается на четную цифру. Мы можем выбрать последнюю цифру числа из 4 четных цифр (0, 2, 4, 6 или 8). Остальные 7 цифр можно выбрать из 10 возможных цифр (0-9), и первая цифра не может быть нулем, так что у нас есть 9 вариантов (1-9). Для данного случая число возможных чисел:

Варианты выбора последней цифры: 4 Варианты выбора первой цифры: 9 Варианты выбора остальных 6 цифр: 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10

Итого: 4 * 9 * 10^6 = 3,600,000

Теперь сложим оба случая, чтобы получить общее количество 8-значных чисел с нечетной суммой цифр:

4,500,000 + 3,600,000 = 8,100,000

Таким образом, существует 8,100,000 различных 8-значных чисел, сумма цифр которых нечетна.