Question

Докажите по индукции, что для любого натурального числа n выполняется неравенство: 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1) (и поясните, пожалуйста, каждый шаг доказательства)

Answer 1

1. Проверим справедливость этого утверждения для  n=1
2=1*(1+1),  т.е. 2=2  верно
2.Предположим, что заданное  равенство выполняется при  n=k, т.е. предположим, что верно равенство
2+4+6+...+2к=к(к+1)
Докажем, что равенство верно и при n=к+1. Оно получается,если вместо n подставить к+1 в обе части заданного равенства
2+4+6+...+2к+2(к+1)=(к+1)(к+2)
2+4+6+...+2к+2(к+1)=(2+4+6+...+к)+2(к+1)=к(к+1)+2(к+1)= (к+1)(к+2).верно(смотри предположение 2.) Следовательно, заданное равенство справедливо для любого натурального числа n