Question

Помогите пожалуйста нужно доказать тождество:sin4a/1+cos4a=tg2a

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

2sin2αcos2α/(cos²2α+sin²2α+cos²2α-sin²2α)=2sin2αcos2α/2cos²2α=sin2α/cos2α=tg2α

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся тригонометрическими тождествами и алгеброй. Начнем с левой стороны тождества и приведем ее к более удобному виду:

Левая сторона: sin^4(a) / (1 + cos^4(a))

Сначала заметим, что (1 + cos^2(a)) = 1 + cos^4(a) + 2cos^2(a). Теперь мы можем переписать левую сторону:

sin^4(a) / (1 + cos^4(a)) = sin^4(a) / (1 + cos^2(a) + 2cos^2(a)) = sin^4(a) / (1 + cos^2(a)) * 1 / (1 + 2cos^2(a))

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами: sin^2(a) + cos^2(a) = 1, откуда sin^2(a) = 1 - cos^2(a). Подставим это значение в наше уравнение:

sin^4(a) / (1 + cos^4(a)) = (1 - cos^2(a))^2 / (1 + cos^2(a)) * 1 / (1 + 2cos^2(a))

Теперь упростим числитель:

(1 - cos^2(a))^2 = (1 - cos^2(a))(1 - cos^2(a)) = 1 - 2cos^2(a) + cos^4(a)

Подставим это обратно в уравнение:

sin^4(a) / (1 + cos^4(a)) = (1 - 2cos^2(a) + cos^4(a)) / (1 + cos^2(a)) * 1 / (1 + 2cos^2(a))

Теперь факторизуем числитель:

1 - 2cos^2(a) + cos^4(a) = (1 - cos^2(a))^2 = sin^2(a)^2 = sin^4(a)

Теперь уравнение выглядит следующим образом:

sin^4(a) / (1 + cos^4(a)) = sin^4(a) / (1 + cos^2(a)) * 1 / (1 + 2cos^2(a))

Теперь воспользуемся определением тангенса: tg(a) = sin(a) / cos(a) = sin(a) / sqrt(1 - sin^2(a)).

Подставим это обратно в уравнение:

sin^4(a) / (1 + cos^4(a)) = sin^4(a) / (1 + cos^2(a)) * sqrt(1 - sin^2(a))^2 / (1 - sin^2(a))

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

1 - sin^2(a) = cos^2(a)

sin^4(a) / (1 + cos^4(a)) = sin^4(a) / (1 + cos^2(a)) * cos^2(a) / (1 - sin^2(a))

Теперь выражение в числителе и знаменателе дроби сократятся:

sin^4(a) / (1 + cos^4(a)) = sin^4(a) / (1 + cos^2(a)) * cos^2(a) / (1 - sin^2(a)) = sin^4(a) / (1 - sin^2(a)) = sin^4(a) / cos^2(a)

Используем тригонометрическое тождество tan^2(a) = sin^2(a) / cos^2(a):

sin^4(a) / cos^2(a) = tan^2(a)

Таким образом, левая сторона тождества равна tan^2(a), что и требовалось доказать:

sin^4(a) / (1 + cos^4(a)) = tan^2(a)

Таким образом, мы успешно доказали тождество.