Question

Если tgα-ctgα=p то, вычислите tg3α-ctg3α.

Answer 1

tgα-ctgα=p

tg³α-ctg³α=(tgα-ctgα)*(tg²α+tgα*ctgα+ctg²α)=

=p*(tg²α-2*tgα*ctg²α+ctg²α+3*tgα*ctgα)=p*(tgα-ctgα)²+3*1=p*p²+3=p³+3.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, а именно формулами для суммы тангенса и котангенса:

1. tg(a + b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a * tg b)
2. ctg(a + b) = (ctg a * ctg b - 1) / (ctg a + ctg b)

Также, нам дано, что tg α - ctg α = p, что можно переписать как tg α = p + ctg α. Теперь мы можем рассмотреть формулы для tg(3α) и ctg(3α).

По формулам для суммы тангенса и котангенса, для нахождения tg(3α) и ctg(3α) мы можем использовать соответственно:

3. tg(3α) = tg(α + 2α) = (tg α + tg 2α) / (1 - tg α * tg 2α)
4. ctg(3α) = ctg(α + 2α) = (ctg α * ctg 2α - 1) / (ctg α + ctg 2α)

Теперь заменим tg α и ctg α на их выражения из условия (tg α = p + ctg α) в формулах 3 и 4:

tg(3α) = (p + ctg α + tg 2α) / [1 - (p + ctg α) * tg 2α] ctg(3α) = (ctg α * ctg 2α - 1) / (ctg α + ctg 2α)

Теперь нам нужно выразить tg 2α через p. Для этого используем формулу для суммы тангенса:

tg(2α) = tg(α + α) = (tg α + tg α) / (1 - tg α * tg α) = 2tg α / (1 - tg^2 α)

Мы уже знаем, что tg α = p + ctg α, так что:

tg^2 α = (p + ctg α)^2 = p^2 + 2p*ctg α + ctg^2 α

Теперь можем подставить выражение для tg^2 α в формулу для tg(2α):

tg(2α) = 2tg α / (1 - tg^2 α) = 2(p + ctg α) / [1 - (p^2 + 2pctg α + ctg^2 α)] = 2(p + ctg α) / (1 - p^2 - 2pctg α - ctg^2 α)

Теперь у нас есть выражения для tg(3α) и ctg(3α) через p:

tg(3α) = (p + ctg α + 2(p + ctg α)) / [1 - (p + ctg α) * 2(p + ctg α) / (1 - p^2 - 2pctg α - ctg^2 α)] = (3p + 3ctg α) / (1 - 2p - 2ctg α - 2pctg α - p^2 - ctg^2 α)

ctg(3α) = (ctg α * 2(p + ctg α) - 1) / (ctg α + 2(p + ctg α)) = (2p*ctg α + ctg^2 α - 1) / (ctg α + 2p + 2ctg α)

Это окончательные выражения для tg(3α) и ctg(3α) через параметр p.