Question

Найдите точку минимума y= - x/x^2+1 Если что минус находится перед дробью

Answer 1

$y=\frac{-x}{x^2+1}\\y'=\frac{-1(x^2+1)-(2x+0)*(-x)}{(x^2+1)^2}\\y'=\frac{-x^2-1+2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$

При x∈(-∞;-1)∪(1;+∞) y'>0

При x∈(-1;1) y<0

В точке 1 производная меняется знак с минуса на плюс, в этой же точке производная равна нулю, значит это точка минимума.

Ответ: 1.

Answer 2

Для поиска точки минимума функции y = -x/(x^2 + 1), нам необходимо найти значение x, при котором производная функции равна нулю.

1. Найдем производную функции y по x: y = -x / (x^2 + 1) y' = d/dx(-x) / (x^2 + 1) = (-1 * (x^2 + 1) + x * 2x) / (x^2 + 1)^2 y' = (-x^2 - 1 + 2x^2) / (x^2 + 1)^2 = (x^2 - 1) / (x^2 + 1)^2

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: (x^2 - 1) / (x^2 + 1)^2 = 0

   x^2 - 1 = 0 x^2 = 1 x = ±√1 x = ±1

Таким образом, у нас есть два кандидата на точки минимума: x = -1 и x = 1.

3. Чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами, проверим знак второй производной функции в этих точках.

Для этого найдем вторую производную функции y по x: y' = (x^2 - 1) / (x^2 + 1)^2 y'' = d/dx[(x^2 - 1) / (x^2 + 1)^2] y'' = [(2x)(x^2 + 1)^2 - (x^2 - 1)(2(x^2 + 1)(2x))] / (x^2 + 1)^4 y'' = [2x(x^2 + 1)^2 - 2x(x^2 - 1)(x^2 + 1)] / (x^2 + 1)^4 y'' = [2x(x^2 + 1)[(x^2 + 1) - (x^2 - 1)]] / (x^2 + 1)^4 y'' = [2x(x^2 + 1)(2)] / (x^2 + 1)^4 y'' = 4x / (x^2 + 1)^3

Теперь, подставим найденные значения x = -1 и x = 1 в выражение для второй производной:

1. x = -1: y'' = 4(-1) / ((-1)^2 + 1)^3 = -4 / 2^3 = -4 / 8 = -1/2 (отрицательное значение)

2. x = 1: y'' = 4(1) / ((1)^2 + 1)^3 = 4 / 2^3 = 4 / 8 = 1/2 (положительное значение)

При x = -1, вторая производная отрицательна, что означает, что это точка локального максимума. При x = 1, вторая производная положительна, что означает, что это точка локального минимума.

Таким образом, точка минимума функции y = -x/(x^2 + 1) находится в x = 1, а её значение будет: y = -(1) / (1^2 + 1) = -1 / 2.