Question

Докажите тождество. sin(a)^4-cos(a)^4=-cos(2a)

Answer 1

$Sin^{4}\alpha-Cos^{4}\alpha =(Sin^{2}\alpha+Cos^{2}\alpha)(Sin^{2}\alpha-Cos^{2} \alpha)=1*(-Cos2\alpha)=-Cos2\alpha\\\\-Cos2\alpha=-Cos2\alpha$

Тождество доказано

При доказательстве были применены формулы :

Sin²α + Cos²α = 1

Cos²α - Sin²α = Cos2α

Answer 2

Для доказательства тождества sin(a)^4 - cos(a)^4 = -cos(2a), воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций.

Тригонометрические тождества, которые нам понадобятся:

1. cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)
2. cos^2(a) + sin^2(a) = 1

Теперь, начнем с левой стороны тождества и преобразуем ее:

sin(a)^4 - cos(a)^4

Мы можем представить sin^2(a) и cos^2(a) следующим образом, используя второе тригонометрическое тождество:

sin^2(a) = 1 - cos^2(a)

Теперь подставим это в выражение:

sin(a)^4 - cos(a)^4 = (1 - cos^2(a))^2 - cos(a)^4

Раскроем квадрат:

sin(a)^4 - cos(a)^4 = (1 - 2cos^2(a) + cos^4(a)) - cos(a)^4

Теперь сократим слагаемые:

sin(a)^4 - cos(a)^4 = 1 - 2cos^2(a)

Используем первое тригонометрическое тождество (cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)):

sin(a)^4 - cos(a)^4 = 1 - cos(2a)

Таким образом, мы доказали тождество:

sin(a)^4 - cos(a)^4 = -cos(2a)