Question

Докажите что выражение может принимать лишь положительные значения х²-12х+42

Answer 1

Выделим полный квадрат
${x}^{2} - 12x + 42 = \\ =( {x }^{2} - 2 \times x \times 6 + 36) + 6 = \\ = {(x - 6)}^{2} + 6$
Последнее выражение больше нуля, т.е. положительно для любых х.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $x^2 - 12x + 42$ может принимать лишь положительные значения, нужно показать, что оно всегда больше нуля.

Для начала, давайте попробуем найти вершину параболы, заданной выражением $y = x^2 - 12x + 42$. Вершина параболы имеет координаты $(h, k)$, где $h = -\frac{b}{2a}$ и $k$ является значением функции в этой точке. В данном случае, $a = 1$ (коэффициент при $x^2$) и $b = -12$ (коэффициент при $x$):

$h = -\frac{-12}{2 \cdot 1} = 6$

Теперь найдем значение функции $y$ в точке $x = 6$:

$y = 6^2 - 12 \cdot 6 + 42 = 36 - 72 + 42 = 6$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(6, 6)$.

Теперь докажем, что парабола всегда направлена вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Это верно, так как $a = 1 > 0$.

Таким образом, у нас есть вершина параболы с координатами $(6, 6)$ и парабола направлена вверх. Значит, она всегда будет лежать выше своей вершины и никогда не пересекает ось $x$. Следовательно, значение $y = x^2 - 12x + 42$ всегда больше или равно $6$, что означает, что выражение может принимать только положительные значения (значение больше нуля).