Question

В равнобедренном треугольника ABC с основанием AC угол B равен 120. Высота треугольника, проведена из вершины A, равна 8 см. Найдите длину стороны AC

Answer 1

Ответ: 16 сантиметров.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится применить теорему косинусов в равнобедренном треугольнике ABC.

Обозначим длину стороны AB (равной стороне) как a, а длину стороны AC (основание) как b.

Из условия мы знаем, что угол B равен 120 градусам и высота треугольника, проведена из вершины A, равна 8 см.

Теорема косинусов для треугольника ABC гласит:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(B),

где c - длина стороны, противолежащей углу B (сторона AC в нашем случае).

Так как треугольник равнобедренный, то a = c.

Теперь, подставим известные значения:

a^2 = b^2 + a^2 - 2ab * cos(120°).

Также нам известно, что высота треугольника, проведена из вершины A, равна 8 см. Мы можем найти площадь треугольника по высоте и основанию:

Площадь треугольника S = (основание * высота) / 2.

Подставим известные значения:

S = (b * 8) / 2.

Также, площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где p - полупериметр треугольника, который равен (a + b + c) / 2.

Подставим a = c и найдем площадь S:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - a)).

Теперь у нас есть два выражения для площади S:

1. S = (b * 8) / 2,

2. S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - a)).

Поскольку оба выражения равны площади треугольника, можно приравнять их:

(b * 8) / 2 = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - a)).

Теперь найдем полупериметр p:

p = (a + b + c) / 2.

Учитывая, что a = c, можно записать:

p = (a + b + a) / 2 = (2a + b) / 2 = a + b / 2.

Подставим это значение в уравнение для площади:

(b * 8) / 2 = √((a + b / 2) * (a + b / 2 - a) * (a + b / 2 - b) * (a + b / 2 - a)).

Упростим:

4b = √(b * (b / 2) * (b / 2) * (b / 2)),

4b = √(b^4 / 8).

Теперь избавимся от корня, возведя обе части уравнения в квадрат:

(4b)^2 = b^4 / 8,

16b^2 = b^4 / 8.

Перенесем все в одну сторону:

b^4 - 128b^2 = 0.

Теперь факторизуем уравнение:

b^2(b^2 - 128) = 0.

Отсюда получаем два возможных значения для b:

1. b^2 = 0, что невозможно для длины стороны треугольника.

2. b^2 - 128 = 0.

Теперь решим второе уравнение:

b^2 = 128.

Возьмем положительный корень (так как длина стороны не может быть отрицательной):

b = √128 ≈ 11.31 см.

Таким образом, длина стороны AC (основания треугольника) примерно равна 11.31 см.