Question

10 - 11 классы В прямоугольном треугольнике с катетами 36 и 48 на гипотенузе взята точка. Из нее проведены прямые, параллельные катетам. Получится прямоугольник, вписанный в данный треугольник. Где на гипотенузе надо взять точку, чтобы площадь такого прямоугольника была наибольшей?

Answer 1

Відповідь:

Пусть АВС- прямоугольный треугольник, катеты АВ = 36 см, АС = 48 см, ВС - гипотенуза.

Пусть D - точка на гипотенузе ВС. DE - отрезок, параллельный катету АВ (точка Е на стороне АС) , DF - отрезок, параллельный катету АС (точка F на стороне АВ) .

Нужно найти точку D, чтобы S - площадь прямоугольника AFDE была наибольшей.

Обозначим ЕС через Х, DE через Y.

Треугольники АВС и EDC подобны, Y/X = DE/EC = AB/AC = 36/48 = 3/4, то есть Y = (3/4)*X.

S = (48 - X)*Y = (48 - X)*(3/4)*X = (3/4)*(48*X - X^2) = (3/4)*(24^2 - 24^2 + 2*24*X - X^2) = (3/4)*(24^2 - (24 - X)^2).

Максимальное значение площадь прямоугольника достигает при Х = 24 см, то есть ЕС - половина катета АС.

Из подобия треугольников АВС и EDC следует, что отрезок DC - половина сгипотенузы ВС.

Точка D, при которой площадь прямоугольника AFDE наибольшая, середина гиптенузы ВС.

Пояснення:

Answer 2

Давайте обозначим точку на гипотенузе треугольника как P. Мы хотим найти такую точку P, чтобы площадь прямоугольника, вписанного в данный треугольник, была наибольшей.

Для начала, давайте разберемся с тем, каким образом прямоугольник вписывается в треугольник. Проведенные прямые, параллельные катетам, разбивают исходный треугольник на 3 части: два треугольника и прямоугольник. См. следующую схему:

luaCopy code
   A         P           B
   *----------*----------*
   |          |          |
   |          |          |
   |    ▲     |     ▲    |
   |    |     |     |    |
 48|----|-----|-----|----|
   |    |     |     |    |
   |    |     |     |    |
   |    |     |     |    |
   |    |     |     |    |
   *----|-----|-----|----*
   |    |     |     |    |
   |    |     |     |    |
   |    |     |     |    |
   |    |     |     |    |
   *----------*----------*
   C          x          D
          36

Обозначим стороны прямоугольника как x и y. Таким образом, его площадь (S) равна произведению x и y: S = x * y.

Для определения максимальной площади прямоугольника, который можно вписать в данный треугольник, нам нужно найти оптимальное значение для стороны x. Поскольку сторона y является высотой прямоугольника, она не может быть больше катета 36.

Давайте обозначим высоту прямоугольника (и, соответственно, сторону y) как h, а длину от точки P до вершины C (по гипотенузе) как d. Мы можем найти h и d, используя подобие треугольников:

h / 36 = 48 / d

Отсюда можно выразить h:

h = (36 * 48) / d

Теперь, используя найденное значение h, мы можем выразить площадь S через x:

S = x * ((36 * 48) / d)

S = (36 * 48 * x) / d

Теперь нам нужно максимизировать площадь S. Для этого найдем производную dS/dx и приравняем ее к нулю:

dS/dx = (36 * 48) / d = 0

Из этого уравнения следует, что d = 36 * 48 / x.

Теперь подставим d обратно в уравнение для S:

S = (36 * 48 * x) / (36 * 48 / x)

S = x^2

Таким образом, получили, что площадь прямоугольника S равна квадрату стороны x.

Теперь, чтобы максимизировать площадь S, нужно выбрать максимально возможное значение для x. Мы знаем, что сторона x не может быть больше катета 48, так как это превысило бы длину гипотенузы. Поэтому максимальное значение для x равно 48.

Таким образом, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей, точку P на гипотенузе следует взять на расстоянии 48 от вершины C (то есть, от вершины A на гипотенузе).