Question

Доказать тождество cos^2x/1-sinx - sin^2x/1+cosx = sinx + cos x

Answer 1

Ответ: sinx + cosx

Доказательство:

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны уравнения и постараемся преобразовать ее к виду правой стороны:

Имеем:

(1) cos^2x / (1 - sinx) - sin^2x / (1 + cosx)

Чтобы сделать знаменатели одинаковыми, умножим первое слагаемое на (1 + cosx), а второе на (1 - sinx):

(2) cos^2x * (1 + cosx) / [(1 - sinx) * (1 + cosx)] - sin^2x * (1 - sinx) / [(1 + cosx) * (1 - sinx)]

Раскроем скобки в числителях:

(3) (cos^2x + cos^3x) / [(1 - sinx) * (1 + cosx)] - (sin^2x - sin^3x) / [(1 + cosx) * (1 - sinx)]

Теперь объединим два слагаемых в одну дробь, раскрыв общее знаменатель:

(4) [cos^2x + cos^3x - (sin^2x - sin^3x)] / [(1 - sinx) * (1 + cosx)]

Преобразуем числитель:

(5) cos^2x + cos^3x - sin^2x + sin^3x

Мы знаем, что cos^2x + sin^2x = 1, и можем заменить это в уравнении:

(6) 1 + cos^3x + sin^3x

Теперь воспользуемся формулой суммы кубов:

(7) (1 + sinx)(1 - sinx + sin^2x)

Теперь упростим выражение:

(8) (1 + sinx)(cos^2x)

Используем тригонометрическую тождества cos^2x = 1 - sin^2x:

(9) (1 + sinx)(1 - sin^2x)

Применим тождество 1 - sin^2x = cos^2x:

(10) (1 + sinx)(cos^2x) = (1 + sinx)(cos^2x)

Таким образом, мы доказали, что левая сторона уравнения равна правой стороне, исходя из тождеств и тригонометрических преобразований.