Question

Исследовать функцию и построить ее график f(x)=x^3-3x

Answer 1

Области определения и значений все числа.

Функция нечётная т.к. f(x)= -f(-x)

Найдём точки пересечения с осями координат.

$f(x)=x^3-3x\\f(x)=0^3-3*0=0=>(0;0)\\f(x)=0;x(x^2-3)=0;x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=>(-\sqrt{3};0)and(0;0)and(\sqrt{3};0)$

Найдём промежутки возрастания, убивания и экстремумы функции.

$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$

Смотри внизу.

Найдём координаты min и max.

$f(-1)=-1+3=2=>(-1;2)\\f(1)=1-3=>(1;-2)$

Найдём точки перегиба.

$f''(x)=(3x^2-3)'=6x$

Соответственно 0 это точка перегиба x<0 функция выпукла вверх

x>0 функция выпукла вниз.

Координаты точки перегиба: $f(0)=0=>(0;0)$

Можем строить график функции.

Answer 2

Чтобы исследовать функцию и построить её график f(x) = x^3 - 3x, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения с осями координат.
2. Выясним, где функция возрастает и убывает.
3. Найдем точки экстремума (максимумы и минимумы).
4. Исследуем поведение функции при достаточно больших и маленьких значениях x.
5. Построим график функции.

Шаг 1: Точки пересечения с осями координат. Для найти точки пересечения с осями, приравниваем f(x) к нулю и решаем уравнение:

x^3 - 3x = 0

x(x^2 - 3) = 0

Таким образом, получаем три значения x: x = 0, x = sqrt(3) и x = -sqrt(3).

Шаг 2: Определение интервалов возрастания и убывания. Для этого найдем производную функции и решим неравенство f'(x) > 0 для интервалов возрастания и f'(x) < 0 для интервалов убывания.

f'(x) = d/dx(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3

Теперь решим уравнение: 3x^2 - 3 > 0

x^2 - 1 > 0

(x - 1)(x + 1) > 0

Таким образом, интервалы возрастания функции -бесконечность до -1 и от 1 до бесконечности, а интервалы убывания - от -1 до 1.

Шаг 3: Точки экстремума. Точки экстремума находятся в тех точках, где производная равна нулю или не существует. Найдем производную и приравняем её к нулю:

f'(x) = 3x^2 - 3 = 0

3x^2 = 3

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x = -1 и x = 1.

Шаг 4: Поведение функции при больших и маленьких значениях x. При x → +∞ и x → -∞ функция будет стремиться к +∞. При x → ±∞ график будет стремиться к бесконечности.

Шаг 5: Построение графика функции f(x) = x^3 - 3x. Теперь, зная все вышеуказанные характеристики, построим график функции f(x):

luaCopy code
  |                   +-----------+
  |                   |           |
  |                   |           |
3 |                +--|    +      |
  |                |  |    |      |
  |                |  |    |      |
  |           +----+  |    |      +----+
  |           |       |    |           |
  |           |       |    |           |
  |        +--|-------+    |           |
  |        |  |           |           |
  |        |  |           |           |
  |     +--|  |           |           |
  |     |  |  |           |           |
  |     |  |  |           |           |
  |  +--|  |  |           |           |
  |  |  |  |  |           |           |
  |  |  |  |  |           |           |
  +--+--+--+--+-----------+-----------+---> x
         -3 -2  -1  0  1   2   3   4

Таким образом, это график функции f(x) = x^3 - 3x. Вертикальные линии на графике соответствуют точкам пересечения с осями координат, где x = 0, x = sqrt(3) и x = -sqrt(3). График проходит через точки экстремума (минимум и максимум) при x = -1 и x = 1. В интервалах от (-∞, -1) и (1, ∞) функция возрастает, а в интервале (-1, 1) функция убывает.