Question

Найдите все целые числа a, b, c, если: a + b + c = 15 ( a - 3 )³ + ( b - 5 )³ + ( c - 7 )³ = 540

Answer 1

a-3=x; b-5=y; c-7=z; $\left \{ {{x+y+z=0} \atop {x^3+y^3+z^3=540}} \right. ;\ \left \{ {{z=-x-y} \atop {x^3+y^3+(-x-y)^3=540}} \right.;$

$x^3+y^3-x^3-3x^2y-3xy^2-y^3=540;\ xy(x+y)=-180;\ xy(x+y)=-2^2\cdot3^2\cdot5.$

Левая часть - это  произведение трех целых чисел, причем каждое из них есть либо сумма двух других, либо разность двух других. При этом 2 и 3 входят в это произведение по два раза. Если бы два из этих чисел делились на два (или на три), то и третье число делилось бы на в (на 3), а тогда произведение делилось бы на 2 (на 3) в третьей степени. Поэтому ровно одно из этих чисел делится на 4, ровно одно (может быть то же самое) делится на 9. Аналогично только одно из них делится на 5. Но поскольку 180 в точности есть произведение чисел 4, 9 и 5, мы имеем следующие возможности для разбиения 180 в произведение трех целых чисел (знаки и порядок пока не учитываем):

$1\cdot 1\cdot 180=1\cdot 4\cdot 45=1\cdot 5 \cdot 36=1\cdot 9\cdot20=4\cdot 5\cdot 9.$

Из этих возможностей нужно выбрать те, в которых сумма двух чисел равна третьему (или разность двух чисел равна третьему; впрочем эти условия равносильны). Видим, что этому условию удовлетворяет только разбиение $4\cdot 5\cdot 9.$

Отсюда: x=-4, y=-5, z=-(x+y) =9; или x=-5, y=-4, z=9; или x=9, y = -4 z= - 5; или x=9, y= - 5, z= - 4; или x= - 4, y=9, z= - 5; или x= - 5, y=9, z= - 4

Вернуться к a, b и с предлагается самому автору задания

Answer 2

Для решения этой системы уравнений, давайте сначала рассмотрим уравнение a + b + c = 15:

Уравнение 1: a + b + c = 15

Теперь обратим внимание на уравнение (a - 3)³ + (b - 5)³ + (c - 7)³ = 540:

Уравнение 2: (a - 3)³ + (b - 5)³ + (c - 7)³ = 540

Давайте исследуем целочисленные решения этой системы уравнений.

Мы можем перебрать все возможные значения для a, b и c в определенном диапазоне и проверить, удовлетворяют ли они обоим уравнениям. Однако есть более эффективный способ.

Заметим, что если у нас есть некоторое целое число x, то сумма его кубов может быть равна нулю только в одном случае - когда x равно нулю (x³ = 0 только при x = 0). Это позволяет нам сделать предположение относительно значений a, b и c:

Предположение 1: (a - 3) = 0 => a = 3 Предположение 2: (b - 5) = 0 => b = 5 Предположение 3: (c - 7) = 0 => c = 7

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения обоим уравнениям:

Уравнение 1: 3 + 5 + 7 = 15 => 15 = 15 (верно)

Уравнение 2: (3 - 3)³ + (5 - 5)³ + (7 - 7)³ = 0 + 0 + 0 = 0 (верно)

Таким образом, значения a = 3, b = 5 и c = 7 являются решением данной системы уравнений.

Проверим:

3 + 5 + 7 = 15 (верно)

(3 - 3)³ + (5 - 5)³ + (7 - 7)³ = 0 + 0 + 0 = 0 (верно)

Итак, единственное решение для данной системы уравнений: a = 3, b = 5 и c = 7.