Question

Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями x=y+1 x=e^y y=-1

Answer 1

Ответ: 1/2.

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits^1_0dx\int\limits^{x-1}_{\ln x}dy=\int\limits_0^1dx\,\,\,\, y\big|^{x-1}_{\ln x}=\int\limits^1_0\left(x-1-\ln x\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}-x-x\ln x+x\right)\bigg|^1_0\\ \\ \\ =\left(\frac{x^2}{2}-x\ln x\right)\bigg|^1_0=\dfrac{1^2}{2}-1\cdot \ln 1-0=\dfrac{1}{2}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, с помощью двойного интеграла, нужно сначала определить пределы интегрирования для переменных x и y.

Исходные линии:

1. x = y + 1
2. x = e^y
3. y = -1

Изобразим эти линии на графике, чтобы лучше понять форму фигуры:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

y = np.linspace(-2, 2, 100)
x1 = y + 1
x2 = np.exp(y)
plt.plot(x1, y, label='x = y + 1')
plt.plot(x2, y, label='x = e^y')
plt.axhline(y=-1, color='red', linestyle='--', label='y = -1')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Теперь мы видим, что фигура ограничена следующим образом:

1. Снизу графиком линии y = -1.
2. Слева графиком функции x = y + 1.
3. Справа графиком функции x = e^y.

Таким образом, пределы интегрирования для x будут от y + 1 до e^y, а для y - от -1 до 0.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя двойной интеграл:

pythonCopy code
import scipy.integrate as spi

# Функция, которую будем интегрировать (она всегда равна 1 внутри фигуры)
def integrand(y, x):
    return 1

# Пределы интегрирования
x_lower_limit = lambda y: y + 1
x_upper_limit = lambda y: np.exp(y)
y_lower_limit = -1
y_upper_limit = 0

# Вычисление двойного интеграла
result, error = spi.dblquad(integrand, y_lower_limit, y_upper_limit, x_lower_limit, x_upper_limit)

print("Площадь фигуры: ", result)

Результатом будет численное значение площади фигуры, ограниченной заданными линиями.