Question

Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер. y = -2x^3+2x^2+2x-13.

Answer 1

найдем производную. приравняем ее нулю. найдем критические точки, разобьем ими числовую ось на интервалы, установим знаки производной при переходе через критические точки. если она меняет знак с минуса на плюс при переходе,то данная точка является точкой минимума, если с плюса на минус, то точкой максимума.

игрек штрих равен -6х²+4х+2=0

-3х²+2х+1=0; х₁,₂=(-1±√(1+3))/(-3); х₁=-1/3;  х₂=1

___-1/3_______1___

 -                  +        -

х=-1/3- точка минимума, х=1 точка максимума.

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции y = -2x^3 + 2x^2 + 2x - 13 необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции y по переменной x.
2. Решите уравнение производной равной нулю, чтобы найти критические точки.
3. Определите характер каждой критической точки, используя вторую производную.

Шаг 1: Найдем производную функции y по переменной x: y' = d/dx (-2x^3 + 2x^2 + 2x - 13) y' = -6x^2 + 4x + 2

Шаг 2: Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки: -6x^2 + 4x + 2 = 0

Для решения уравнения выше, используем квадратное уравнение или факторизацию:

Факторизация: -2(3x^2 - 2x - 1) = 0

Теперь решим 3x^2 - 2x - 1 = 0 с помощью квадратного уравнения или других методов:

x = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4 * 3 * (-1))) / (2 * 3) x = (2 ± √(4 + 12)) / 6 x = (2 ± √16) / 6 x = (2 ± 4) / 6

Таким образом, получаем две критические точки:

1. x = (2 + 4) / 6 = 1
2. x = (2 - 4) / 6 = -1/3

Шаг 3: Определим характер каждой критической точки, используя вторую производную (y''):

y'' = d^2/dx^2 (-6x^2 + 4x + 2) y'' = -12x + 4

Теперь подставим найденные критические точки в y'' для определения их характера:

a) При x = 1: y''(1) = -12 * 1 + 4 = -8

b) При x = -1/3: y''(-1/3) = -12 * (-1/3) + 4 = 8

Теперь проанализируем результаты:

a) Критическая точка x = 1: y''(1) = -8 Поскольку вторая производная отрицательна, это означает, что функция имеет максимум в точке x = 1.

b) Критическая точка x = -1/3: y''(-1/3) = 8 Поскольку вторая производная положительна, это означает, что функция имеет минимум в точке x = -1/3.

Итак, точка x = 1 является максимумом функции, а точка x = -1/3 - минимумом.