Question

30 баллов!!!! помогите пожалуйста! 1.Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = -3х2 + 6х + 3. 2. Найдите экстремумы функции у = х3 - 2х2. 4. Составьте уравнение касательной к графику функции у = х3 - 6х2 в точке с абсциссой xo = 1 5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х - х3

Answer 1

1) Дана квадратичная функция  у = -3х² + 6х + 3. Ветви вниз (а = -3).

Находим вершину хо = -в/2а = -6*(2*(-3)) = 1.

Тогда ответ:

функция возрастает на промежутке (-∞; 1), убывает- (1; ∞).

2) Экстремумы функции у = х³ - 2х² находим по производной, равной нулю: y' = 3х² - 4x = 0.  x(3x - 4) = 0. Имеем 2 критических точки: х = 0 и х = 4/3 и 3 промежутка монотонности: (-∞; 0), (0; (4/3) и ((4/3); +∞).

Находим знак производной на каждом из промежутков.

х =  -1      0      1       4/3       2

y' = 7 0 -1  0     4 .

Видим, что при прохождении через точку х = (4/3) производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через точку х = 0 – меняет знак с плюса на минус, соответственно это будет максимум.

4) Дана функция у = х³ - 6х², её производная равна y' = 3x² - 12x.

В точке х = 1 производная равна y'(1) = 3 - 12 = -9.

Функция в точке х = 1 равна х(1) = 1 - 6 = -5.

Уравнение касательной задается уравнением:

y = f ’(x0) • (x − x0) + f (x0) ,

где f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.  Подставим значения:

у = -9(х - 1) + (-5) = -9х + 9 - 5 = -9х + 4.

5) Дана функция у = х - х³. Её производная равна:

y' = -3x² + 1. Приравняем производную нулю: -3x² + 1 = 0.

х = +-√(1/3) ≈ +-0,57735.

Находим знак производной на каждом из промежутков.

x =    -1     -√(1/3)        0        √(1/3)           1

y' = -2      0           1            0          -11

Максимум в точке х = √(1/3) равен 2/(3√3),

минимум в точке х = -√(1/3) равен -2/(3√3).

Answer 2

Давайте решим ваши задачи по порядку:

1. Найдем промежутки возрастания и убывания функции у = -3х^2 + 6х + 3. Для этого найдем производную функции и проанализируем ее знаки: у' = d(-3х^2 + 6х + 3)/dx = -6х + 6.

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: -6х + 6 = 0 -6х = -6 х = 1.

Теперь составим таблицу знаков производной в интервалах (-∞, 1) и (1, +∞):

x	-∞ 1 +∞
y'	+ 0 -

Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, 1) и убывает на интервале (1, +∞).

2. Найдем экстремумы функции у = х^3 - 2х^2. Для этого снова найдем производную функции и приравняем ее к нулю: у' = d(х^3 - 2х^2)/dx = 3х^2 - 4х.

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 3х^2 - 4х = 0 x(3х - 4) = 0.

Отсюда получаем две точки: x = 0 и x = 4/3.

Теперь проанализируем вторую производную, чтобы понять тип экстремума. у'' = d(3х^2 - 4х)/dx = 6х - 4.

Подставим найденные значения х в у'': у''(0) = 60 - 4 = -4 (меньше нуля) - это значит, что в точке x = 0 есть максимум. у''(4/3) = 6(4/3) - 4 = 4 - 4 = 0 - это значит, что в точке x = 4/3 нет экстремума.

3. Составим уравнение касательной к графику функции у = х^3 - 6х^2 в точке с абсциссой x₀ = 1. Для этого найдем значение производной в точке x₀: у' = d(х^3 - 6х^2)/dx = 3х^2 - 12х.

Подставим x₀ = 1 в у': у'(1) = 31^2 - 121 = 3 - 12 = -9.

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен -9. Теперь найдем точку касания (y₀), подставив x₀ = 1 в исходную функцию: y₀ = 1^3 - 6*1^2 = 1 - 6 = -5.

Таким образом, уравнение касательной имеет вид: у = -9х - 5.

4. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции у = х - х^3. Для этого сначала найдем производную функции: у' = d(х - х^3)/dx = 1 - 3х^2.

Приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума: 1 - 3х^2 = 0 3х^2 = 1 х^2 = 1/3 х = ±√(1/3).

Теперь найдем значение функции в найденных точках и на концах интервала (-∞, +∞): у(-√(1/3)) ≈ -0.577, у(√(1/3)) ≈ 0.577, у(-∞) = -∞, у(+∞) = +∞.

Таким образом, наименьшее значение функции -∞, а наибольшее значение +∞. Функция не имеет ограниченных экстремумов на данном интервале.

Можете обратиться, если у вас возникнут еще вопросы!