Question

Докажите, что при любом значении p уравнение x^2+px+p-3=0 имеет два корня.

Answer 1

Ответ: в данном случае дискриминант равен р^2-4*(р-3)>0 или р^2-4*р+12>0 здесь вершина параболы низшая её точка и координат хв=4/2=2, вертикальная координат равна 4-8+12=8>0.

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что уравнение $x^2 + px + p - 3 = 0$ имеет два корня при любом значении $p$, воспользуемся свойствами квадратных уравнений.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$, и $c$ - это коэффициенты, причем $a \neq 0$.

Дискриминант квадратного уравнения $D$ вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

Если $D > 0$, то у уравнения есть два различных вещественных корня.

Если $D = 0$, то у уравнения есть один вещественный корень с кратностью два.

Если $D < 0$, то у уравнения нет вещественных корней, но есть два комплексных корня.

Теперь вернемся к нашему уравнению $x^2 + px + p - 3 = 0$. Заметим, что коэффициенты $a$, $b$, и $c$ у нас такие: $a = 1$, $b = p$, $c = p - 3$.

Теперь вычислим дискриминант $D$ для данного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 3) = p^2 - 4p + 12$.

Мы хотим доказать, что уравнение имеет два корня, т.е. что $D > 0$.

$D = p^2 - 4p + 12$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $D$ как функцию от $p$, тогда у нас есть:

$D = p^2 - 4p + 12 = (p - 2)^2 + 8$.

Теперь очевидно, что $D$ будет больше или равно нулю при любом значении $p$, так как квадратный член $(p - 2)^2$ всегда неотрицателен (так как это квадрат), а сумма неотрицательного числа и числа 8 также будет неотрицательной.

Таким образом, мы доказали, что $D = p^2 - 4p + 12 \geq 0$ при любом значении $p$, что означает, что уравнение $x^2 + px + p - 3 = 0$ всегда имеет два корня (два вещественных корня, если $D > 0$ и два комплексных корня, если $D < 0$).