Question

Найдите производную 1) ln2x*e^-x 2)(√x^2-1)/(4x^3)

Answer 1

Формула: (uv)'=u'v+uv'

1) ln2x*e^-x=(ln2x)'e^(-x)+ln2x * (e^(-x))'= 2/x *e^(-x) - ln2x * e^(-x)

Формула (u/v)'=(u'v-uv')/v^2

2)(√x^2-1)/(4x^3)=((√x^2-1)'(4x^3)-(√x^2-1)(4x^3)')/(4x^3)^2= ((x/√x^2-1)*4x^3- (√x^2-1)*12x^2)/(4x^6)

Answer 2

Для нахождения производных данных функций, мы будем использовать правила дифференцирования. Предположим, что x - это независимая переменная.

1. Найдем производную функции ln(2x) * e^(-x):

Используем правило производной произведения: (d/dx)(u * v) = u' * v + u * v'

где u = ln(2x) и v = e^(-x).

Вычислим производные:

u' = (d/dx)(ln(2x)) = 1/(2x) * 2 = 1/x v' = (d/dx)(e^(-x)) = -e^(-x)

Теперь объединим:

(d/dx)(ln(2x) * e^(-x)) = (1/x) * e^(-x) + ln(2x) * (-e^(-x))

Итак, производная функции ln(2x) * e^(-x) равна: (e^(-x) - ln(2x) * e^(-x))/x.

2. Найдем производную функции (√(x^2-1))/(4x^3):

Используем правило производной частного: (d/dx)(u/v) = (u' * v - u * v') / v^2

где u = √(x^2-1) и v = 4x^3.

Вычислим производные:

u' = (d/dx)(√(x^2-1)) = (1/2√(x^2-1)) * (2x) = x/√(x^2-1) v' = (d/dx)(4x^3) = 12x^2

Теперь объединим:

(d/dx)((√(x^2-1))/(4x^3)) = (x/√(x^2-1) * 4x^3 - √(x^2-1) * 12x^2) / (4x^3)^2 = (4x^4 - 12x^2√(x^2-1)) / 16x^6 = (x^2(4x^2 - 12√(x^2-1))) / (16x^6) = (x^2(4x^2 - 12√(x^2-1))) / (16x^6)

Итак, производная функции (√(x^2-1))/(4x^3) равна: (x^2(4x^2 - 12√(x^2-1))) / (16x^6).