Question

Решить уравнение Будьте так любезны написать подробное решение .sin(x)^3*cos(3x)+cos(x)^3*sin(3x)=-3/8​

Answer 1

Чтобы не переписывать каждый раз все уравнение, докажем первоначально, что левая часть равна $\frac{3}{4}\sin 4x$

1-й способ:

$\sin 3x\cdot \cos^3x+\cos 3x\cdot \sin^3x=\sin 3x\cdot \cos x\cdot \cos^2x+\cos 3x \cdot \sin x\cdot \sin^2x=$

$=\frac{(\sin 4x+\sin 2x)(1+\cos 2x)+(\sin 4x-\sin 2x)(1-\cos 2x)}{4}=\frac{2}{4}(\sin 4x+\sin 2x\cdot\cos 2x)=\frac{3}{4}\sin 4x$

2-й способ:

$(3\sin x-4\sin^3 x)\cdot \cos^3x+(4\cos^3x-3\cos x)\cdot \sin^3x=$

$=3\sin x\cdot \cos x\cdot (\cos^2 x-\sin^2x)=\frac{3}{2}\sin 2x\cdot \cos 2x=\frac{3}{4}\sin 4x$

3-й способ:

$\sin 3x\cdot\frac{\cos 3x+3\cos x}{4}+\cos 3x\cdot \frac{3\sin x-\sin 3x}{4}=$

$=\frac{3(\sin 3x\cdot\cos x+\cos 3x\cdot \sin x}{4}=\frac{3}{4}\sin 4x$

Уравнение принимает вид $\frac{3}{4}\sin 4x=-\frac{3}{8};\ \sin 4x=-\frac{1}{2}; \left [ {{4x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n} \atop {4x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n}} \right.;\ \left [ {{x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2};\ n\in Z} \atop {x=\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi n}{2};\ n\in Z}} \right.$

Answer 2

Ответ: x=(-1)^n *7π/24 + π*n/4

Объяснение:

sin(x)^3*cos(3x)+cos(x)^3*sin(3x)=-3/8​

sin^2(x) * ( sin(x)*cos(3x) )  +cos^2(x) *( cos(x)*sin(3x) )=-3/8

sin^2(x) * ( sin(x)*cos(3x) )  + (1-sin^2(x) ) *( cos(x)*sin(3x) )=-3/8

sin^2(x) *(  sin(x)*cos(3x) - sin(3x)*cos(x)  )   + cos(x)*sin(3x) =-3/8

Заметим что :  sin(x)*cos(3x) - sin(3x)*cos(x)= sin(x-3x)=sin(-2x)=-sin(2x)

-sin(2x) *sin^2(x)  +cos(x)*sin(3x) =-3/8

Применим  формулы:

sin^2(x)= (1-cos(2x) ) /2  →  -sin^2(x)= (cos(2x)-1)/2

sin(3x) *cos(x) =  1/2 * ( sin(3x-x) +sin(3x+x) )= 1/2* ( sin(2x)+sin(4x) )

1/2 * (  sin(2x) * (cos(2x) -1) +sin(2x) +sin(4x) ) =-3/8

sin(2x)*cos(2x) -sin(2x) +sin(2x) +sin(4x) =-3/4

sin(2x)*cos(2x) +2*sin(2x)*cos(2x) =-3/4

3*sin(2x)*cos(2x)=-3/4

sin(2x)*cos(2x)=-1/4

2*sin(2x)*cos(2x)=-1/2

sin(4x)=-1/2

4x= (-1)^n *7π/6 +π*n

x=(-1)^n *7π/24 + π*n/4

Answer 3

Для решения данного уравнения, воспользуемся тригонометрическими тождествами и алгеброй. Первым шагом приведем выражение в уравнении к более удобному виду, используя формулу произведения синуса и косинуса:

$\sin(x)^3\cos(3x) + \cos(x)^3\sin(3x) = \frac{-3}{8}$

Используем формулы произведения синуса и косинуса:

$\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$

$\cos(a)\sin(b) = \frac{1}{2}[\sin(a+b) - \sin(a-b)]$

Применим эти формулы к исходному уравнению:

$\frac{1}{2}[\sin(x + 3x) + \sin(x - 3x)] + \frac{1}{2}[\sin(3x + x) - \sin(3x - x)] = \frac{-3}{8}$

$\frac{1}{2}[\sin(4x) + \sin(-2x)] + \frac{1}{2}[\sin(4x) - \sin(2x)] = \frac{-3}{8}$

$\frac{1}{2}[\sin(4x) - \sin(2x)] + \frac{1}{2}[\sin(4x) + \sin(2x)] = \frac{-3}{8}$

Теперь заметим, что первые два слагаемых в каждой паре складываются, что упрощает уравнение:

$\sin(4x) = \frac{-3}{8}$

Теперь решим уравнение относительно $\sin(4x)$:

$\sin(4x) = \frac{-3}{8}$

Для решения этого уравнения возможны два подхода. Один из них — использование тригонометрической окружности или тригонометрических таблиц, чтобы найти все значения угла $4x$, при которых $\sin(4x) = \frac{-3}{8}$. Но такой метод может быть не совсем очевидным, поэтому воспользуемся другим подходом.

Второй подход заключается в использовании тригонометрической идентичности $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$. Для угла $4x$ она выглядит следующим образом:

$\sin^2(4x) + \cos^2(4x) = 1$

Теперь заметим, что $\cos(4x)$ можно представить через $\sin(4x)$ с помощью тригонометрической идентичности:

$\cos^2(4x) = 1 - \sin^2(4x)$

Теперь подставим эту формулу обратно в уравнение:

$\sin^2(4x) + (1 - \sin^2(4x)) = 1$

$\sin^2(4x) + 1 - \sin^2(4x) = 1$

$1 = 1$

Уравнение верное для любого значения угла $4x$, и это означает, что уравнение $\sin(4x) = \frac{-3}{8}$ не имеет решений.

Таким образом, исходное уравнение $\sin(x)^3\cos(3x) + \cos(x)^3\sin(3x) = \frac{-3}{8}$ не имеет решений.