Question

ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ f(x)=3х^2-х^3​

Answer 1

f'(x)= 3×2x-3x^2=6x-3x^2

Answer 2

Для исследования функции f(x) = 3x^2 - x^3 на её поведение и свойства, мы можем выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную и точки экстремума.
3. Найти вторую производную и точки перегиба.
4. Изучить поведение функции на бесконечности.
5. Найти точки пересечения с осями координат.
6. Нарисовать график функции.

Давайте последовательно выполним каждый из этих шагов:

1. Область определения функции: Функция f(x) определена для всех действительных чисел x.

2. Найдем производную функции f'(x): f(x) = 3x^2 - x^3 f'(x) = d/dx (3x^2 - x^3) f'(x) = 6x - 3x^2

3. Найдем точки экстремума: Для этого приравняем производную к нулю и найдем x: 6x - 3x^2 = 0 3x(2 - x) = 0

   Таким образом, x = 0 и x = 2 - это кандидаты на точки экстремума.

   Вычислим значение функции в этих точках: f(0) = 30^2 - 0^3 = 0 f(2) = 32^2 - 2^3 = 3*4 - 8 = 12 - 8 = 4

   Таким образом, у нас есть точка перегиба (0, 0) и точка экстремума (2, 4).

4. Найдем вторую производную функции f''(x): f'(x) = 6x - 3x^2 f''(x) = d/dx (6x - 3x^2) f''(x) = 6 - 6x

5. Найдем точки перегиба: Точки перегиба происходят там, где вторая производная равна нулю: 6 - 6x = 0 6x = 6 x = 1

   Вычислим значение функции в этой точке: f(1) = 3*1^2 - 1^3 = 3 - 1 = 2

   Таким образом, у нас есть точка перегиба (1, 2).

6. Поведение функции на бесконечности: При стремлении x к положительной или отрицательной бесконечности, функция также будет стремиться к бесконечности отрицательной стороны, так как член x^3 доминирует над 3x^2.

7. Точки пересечения с осями координат:

   • При x = 0: f(0) = 3*0^2 - 0^3 = 0
   • При y = 0: 0 = 3x^2 - x^3 x^3 = 3x^2 x = 3 (единственное пересечение с осью x)

Теперь давайте нарисуем график функции f(x) = 3x^2 - x^3, используя полученные данные:

cssCopy code
  y
  ^
4 |            o
  |             \
3 |              \
  |               o
2 |                \
  |                 \
1 |                  o
  |                   \
0 |---o----o----o----o---o--->
  |  -3  -2  -1   0   1   2  x

На графике видно, что функция имеет точку перегиба в (1, 2) и точку экстремума в (2, 4). Она также пересекает ось x в точке (3, 0). Функция стремится к бесконечности при стремлении x к положительной и отрицательной бесконечностям.