Question

Решить уравнение 3+7+11+...+x=78

Answer 1

Уравнение представляет собой сумму членов некоторой арифметической прогрессии.

Пусть $a_n:\ 3;\ 7;\ 11;\ ...;\ x$ - арифметическая прогрессия.

d = 7-3 = 11-7 = 4

$a_n=a_1+d(n-1)\ \Rightarrow 3+4(n-1) = x\\ x=4n-1\\ S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\ \Rightarrow \dfrac{3+x}{2}\cdot n=78\ \Rightarrow \dfrac{3+4n-1}{2}\cdot n=78\\\\\dfrac{4n+2}{2}\cdot n=78\\ (2n+1)n=78\\ 2n^2+n-78=0,\ n \in N\\ D=625\ \Rightarrow n_1= -6,5 \notin N;\ n_2=6 \in N$

Значит, левая часть уравнения имеет 6 слагаемых. Последнее слагаемое в этом уравнении:

х = 4n - 1 = 4·6 - 1 = 23

Ответ: 23.

Answer 2

Для решения данного уравнения, сначала нужно определить закономерность в последовательности и выразить её общий член. Последовательность 3+7+11+... является арифметической прогрессией, где каждый следующий элемент получается прибавлением фиксированной константы к предыдущему элементу.

Общий член арифметической прогрессии можно найти по формуле: an = a1 + (n-1) * d,

где an - n-ый элемент последовательности, a1 - первый элемент последовательности, n - номер элемента, и d - разность между соседними элементами (константа).

Из данной последовательности видно, что первый элемент (a1) равен 3, а разность (d) равна 4 (7 - 3 = 4, 11 - 7 = 4 и т.д.). Теперь мы должны найти, при каком n (номер элемента) сумма всех элементов до x будет равна 78.

Сумма первых n элементов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: Sn = (n/2) * (a1 + an).

Мы хотим, чтобы Sn было равно 78. Таким образом, у нас есть уравнение:

78 = (n/2) * (a1 + an).

Подставим a1 = 3 и an = a1 + (n-1) * d = 3 + (n-1) * 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1:

78 = (n/2) * (3 + 4n - 1).

Упростим уравнение:

78 = (n/2) * (4n + 2).

Разделим обе части на 2:

39 = n * (2n + 1).

Теперь перепишем уравнение в квадратном виде:

2n^2 + n - 39 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться факторизацией или квадратным корнем. Я воспользуюсь квадратным корнем:

n = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

Где a = 2, b = 1 и c = -39.

n = (-(1) ± √((1)^2 - 4 * 2 * (-39))) / 2 * 2.

n = (-1 ± √(1 + 312)) / 4.

n = (-1 ± √313) / 4.

Таким образом, у нас есть два значения для n:

n1 = (-1 + √313) / 4 ≈ 3.18 (приблизительно).

n2 = (-1 - √313) / 4 ≈ -4.18 (приблизительно).

Поскольку n не может быть отрицательным (поскольку это номер элемента в последовательности), то n ≈ 3.18 не подходит.

Таким образом, правильный ответ: n ≈ 3 (приблизительно).

Теперь, чтобы найти x, мы можем использовать общий член арифметической прогрессии:

x = a1 + (n-1) * d,

x = 3 + (3-1) * 4,

x = 3 + 2 * 4,

x = 3 + 8,

x = 11.

Ответ: x = 11.