Question

Докажите что при всех допустимых значениях переменных значение выражения (x-2y)^2-8y^2(2y^2-x^2)/(2y+x)^2 неотрицательно​

Answer 1

$(x-2y)^2-\dfrac{8y^2(2y^2-x^2)}{(2y+x)^2}=\dfrac{(x-2y)^2(x+2y)^2-8y^2(2y^2-x^2)}{(x+2y)^2}=\\ \\ \\ =\dfrac{(x^2-4y^2)^2-8y^2(2y^2-x^2)}{(x+2y)^2}=\dfrac{x^4-8x^2y^2+16y^4-16y^4+8x^2y^2}{(x+2y)^2}=\\ \\ \\ =\dfrac{x^4}{(x+2y)^2}\geqslant 0,~~~ x\ne -2y$

Answer 2

Давайте докажем, что выражение

E = (x - 2y)^2 - 8y^2(2y^2 - x^2)/(2y + x)^2

неотрицательно для всех допустимых значений переменных.

1. Первым шагом заметим, что E представляет собой разность двух квадратов:

E = [(x - 2y)^2(2y + x)^2 - 8y^2(2y^2 - x^2)] / (2y + x)^2

2. Раскроем квадраты в числителе:

E = [(x^2 - 4xy + 4y^2)(4y^2 + 4xy + x^2) - 8y^2(2y^2 - x^2)] / (2y + x)^2

3. Упростим числитель:

E = [4x^2y^2 + 4xy^3 + x^4 - 16xy^3 - 16y^4 + 4xy^3 + 4y^2x^2 - 8y^2x^2] / (2y + x)^2

E = [x^4 - 20xy^3 - 12y^4 + 4x^2y^2] / (2y + x)^2

4. Факторизуем числитель:

E = [(x^2 - 4y^2)(x^2 - 12y^2)] / (2y + x)^2

5. Мы знаем, что квадрат любого числа неотрицателен:

x^2 ≥ 0 4y^2 ≥ 0

6. Таким образом, каждый из множителей (x^2 - 4y^2) и (x^2 - 12y^2) неотрицателен для всех допустимых значений переменных.

7. В частности, мы можем сказать, что:

(x^2 - 4y^2)(x^2 - 12y^2) ≥ 0

8. Поскольку числитель неотрицателен, а знаменатель положителен (так как (2y + x)^2 всегда положительно), мы можем заключить, что выражение E неотрицательно для всех допустимых значений переменных.

Таким образом, мы доказали, что (x-2y)^2-8y^2(2y^2-x^2)/(2y+x)^2 неотрицательно для всех допустимых значений переменных.