Question

Решите эти уравнения пожалуйста.2) 5 sin x + 6 cos x — 6 = 03) sin 6x - sin 2x = 0​

Answer 1

$1)\; \; 5sinx+6cosx-6=0\qquad (5^2+6^2=61)\\\\\frac{5}{\sqrt{61}}\, sinx+\frac{6}{\sqrt{61}}\, cosx=\frac{6}{\sqrt{61}}\qquad \\\\cos\alpha \cdot sinx+sin\alpha \cdot cosx=\frac{6}{\sqrt{61}}\\\\\star \; \; cos\alpha =\frac{5}{\sqrt{61}}\; \; ,\; \; sin\alpha =\frac{6}{\sqrt{61}} \; \; ,\; \; tak\; kak\; \; cos^2\alpha +sin^2\alpha =1\; \; \star \\\\\star \; \; tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{6}{5}\; \; ,\; \; \alpha =arctg\frac{6}{5}\; \; \star \\\\sin(x+\alpha )=\frac{6}{\sqrt{61}}$

$x+\alpha =(-1)^{n}\cdot arcsin\frac{6}{\sqrt{61}}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=-\alpha +(-1)^{n}\cdot arcsin\frac{6}{\sqrt{61}}+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\\underline {x=-arctg\frac{6}{5}+(-1)^{n}\cdot arcsin\frac{6}{\sqrt{61}}+\pi n\; ,\; n\in Z}$

$2)\; \; sin6x-sin2x=0\\\\2\, sin2x\cdot cos4x=0\\\\a)\; \; sin2x=0\; ,\; \; 2x=\pi n\; \; ,\; \; \underline {x=\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z}\\\\b)\; \; cos4x=0\; ,\; \; 4x=\frac{\pi}{2}+\pi k\; \; ,\; \; \underline {x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}\; ,\; k\in Z}$

Answer 2

решите эти уравнения пожалуйста.

2) 5 sin x + 6 cos x — 6 = 0

я бы делал так:

Есть формулы универсальной подстановки. Применим их:

5*2tgx/2 / (1 + tg²x/2) + 6*(1 - tg²x/2)/( 1 + tg²x/2)  -6=0 |*(1 + tg²x/2) ≠0

10tgx/2 +6 - 6tg²x/2 -6 - 6tg²x/2 = 0

-12tg²x/2 +10tgx/2 = 0

tgx/2(-12tgx/2 + 10) = 0

tgx/2 = 0                  или                   -12tgx/2 + 10 = 0

x/2 = arctg0 + πk , k ∈Z                      tgx/2 = 5/6

х/2 = πk , k ∈Z                                     х/2 = arctg5/6 + πn , n ∈Z  

x =2πk , k ∈Z                                       х = 2arctg5/6 + πn , n ∈Z  

3) sin 6x - sin 2x = 0

2Sin2xCos4x = 0

Sin2x = 0             или       Cos4x = 0

2x = πk , k ∈Z                     4x = π/2 + πn , n ∈Z

x = πk/2 , k ∈Z                     x = π/8 + πn/4 , n ∈Z

 

Answer 3

1. Перепишем уравнение: 5sin(x) + 6cos(x) - 6 = 0

Для решения этого уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами, а именно, заменим cos(x) на √(1 - sin^2(x)):

5sin(x) + 6√(1 - sin^2(x)) - 6 = 0

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

5sin(x) + 6√(1 - sin^2(x)) - 6 = 0

Рассмотрим квадрат √(1 - sin^2(x)). Обозначим его за t:

t = √(1 - sin^2(x))

Возведем обе части уравнения в квадрат:

t^2 = 1 - sin^2(x)

Перепишем уравнение с использованием t:

5sin(x) + 6t - 6 = 0

Теперь имеем систему уравнений:

5sin(x) + 6t - 6 = 0 (1) t^2 = 1 - sin^2(x) (2)

Решим уравнение (2) относительно t:

t^2 = 1 - sin^2(x) t^2 + sin^2(x) = 1 sin^2(x) = 1 - t^2

Подставим это значение sin^2(x) в уравнение (1):

5sin(x) + 6t - 6 = 0 5√(1 - t^2) + 6t - 6 = 0

Теперь получили уравнение только относительно t. Решим его численно или графически, чтобы найти значение t. После этого можно будет найти значение sin(x) из уравнения (2), а затем и значение x.

2. Перепишем уравнение: sin(6x) - sin(2x) = 0

Мы можем применить тригонометрическую формулу синуса разности двух углов:

sin(6x) - sin(2x) = 2sin(2x)cos(4x) - sin(2x) = sin(2x)(2cos(4x) - 1) = 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей, равное нулю:

sin(2x) = 0 или 2cos(4x) - 1 = 0

1. sin(2x) = 0: 2x = arcsin(0) 2x = 0, π, 2π, ...

Решениями этого уравнения будут значения x, равные 0, π/2, π, 3π/2, и т.д.

2. 2cos(4x) - 1 = 0: 2cos(4x) = 1 cos(4x) = 1/2

Решениями этого уравнения будут значения x, равные π/12, 11π/12, 25π/12, 35π/12, и т.д.

Таким образом, решениями исходного уравнения будут значения x, равные 0, π/2, π, 3π/2, π/12, 11π/12, 25π/12, 35π/12, и т.д.