Question

F(x)= (x^2-8x)(x^2-16x+64)/3x-24 Найти промежутки убывания функции

Answer 1

Ответ:

x (8/3;8)

Объяснение:

f(x)=x(x-8)(x-8)^2/3(x-8)=x(x-8)^2/3

f(x)=g(x)/3

g'(x)=(x-8)^2+x*2*(x-8)=(x-8)(x-8+2x)=(x-8)(3x-8)

x=8  x=8/3  

метод интервалов

_____+____8/3_____-______8____+_____

функция убывает на промежутках, где производная отрицательна

(8/3;8)

Answer 2

Чтобы найти промежутки убывания функции F(x), нам нужно проанализировать знак её производной. Для начала, найдём производную функции F(x).

F(x) = (x^2 - 8x)(x^2 - 16x + 64) / (3x - 24)

Для удобства, разложим числитель на множители:

F(x) = [(x(x - 8))(x - 8)(x - 8)] / (3x - 24)

F(x) = [x(x - 8)^2(x - 8)] / (3x - 24)

Теперь возьмём производную функции F(x) по x:

F'(x) = [(x - 8)^2(x - 8) * (3x - 24) - x(x - 8)^2] / (3x - 24)^2

Для определения знаков производной F'(x) и, следовательно, промежутков убывания, найдём значения x, при которых F'(x) равна нулю или не определена.

F'(x) = 0 при x = 8, так как в этом случае числитель обращается в нуль.

Заметим, что знаменатель (3x - 24)^2 никогда не равен нулю, поэтому нам не нужно проверять его значения.

Теперь мы можем построить таблицу знаков производной F'(x), исследуя интервалы между нулевыми точками и краями области определения функции. Обратите внимание, что интервалы должны быть разделены на основе значения x = 8.

Интервалы: (-∞, 8) и (8, +∞)

Проверим значения производной F'(x) на этих интервалах, чтобы определить их знаки.

1. Для интервала (-∞, 8):

Выберем x = 0 и подставим его в F'(x):

F'(0) = [(0 - 8)^2(0 - 8) * (3(0) - 24) - 0(0 - 8)^2] / (3(0) - 24)^2 = 0 / (-24)^2 = 0

Таким образом, на интервале (-∞, 8) производная F'(x) равна нулю.

2. Для интервала (8, +∞):

Выберем x = 10 и подставим его в F'(x):

F'(10) = [(10 - 8)^2(10 - 8) * (3(10) - 24) - 10(10 - 8)^2] / (3(10) - 24)^2 = (-2)^2(2)(6) / (6)^2 = -4 / 6 = -2/3

Таким образом, на интервале (8, +∞) производная F'(x) отрицательна.

Итак, промежутки убывания функции F(x) равны (-∞, 8) и (8, +∞).