Question

(х+3)(3х-2)^5(7-х)^3(5х+8)^2<0

Answer 1

$(x+3)(3x-2)^5(7-x)^3(5x+8)^2$

В данном задание можно и нужно использовать метод интервалов. Для этого нужно найти нули функции $f(x)=(x+3)(3x-2)^5(7-x)^3(5x+8)^2$

Но есть одна хитрость в методе интервалов: если при разложении на множители коэффициент при каждой у переменной x будет равен 1 (именно единице, без минусов), то при переходе через нуль нечетной кратности (у скобки нечетная степень), знак изменится на противоположный, а при переходе через нуль четной кратности (у скобки четная степень) знак не поменяется. Более того, в самом правом промежутке, который связан с +∞, знак всегда положителен.

Приведем неравенство именно к такому виду:

$(x+3)*3^5*(x-\frac{2}{3} )^5*(-1)^3*(x-7)^3*5^2*(x+\frac{8}{5} )^2$

Здесь учитываем, что неравенство можно поделить на положительное число без изменения его знака, а вот на (-1) поделить уже с изменением знака. Итак, получаем 4 нуля нашей функции: $x=-3; x=-\frac{8}{5};x=\frac{2}{3};x=7.$

При этом, x=-8/5 - нуль четной кратности.

Промежутки будут выглядеть так:

-          +             +            -           +

   -3         -8/5        2/3          7

Учитывая, что неравенство строгое, выкалываем нули.

И получаем наш ответ x∈(-3; -8/5)∪(-8/5; 2/3)∪(7;+∞)

Ответ: $(-3;-\frac{8}{5})$∪$(-\frac{8}{5};\frac{2}{3})$∪$(7;+oo)$

Answer 2

To solve the inequality $(x+3)(3x-2)^5(7-x)^3(5x+8)^2 < 0$, we need to find the intervals for which the expression is negative. To do this, we'll follow these steps:

1. Find the critical points by setting each factor to zero and solving for $x$.
2. Use these critical points to create intervals on the number line.
3. Test each interval to determine if the expression is negative or positive in that range.

Let's start with the first step:

1. Find the critical points:
   • Set each factor to zero and solve for $x$: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$, $3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$, $7 - x = 0 \Rightarrow x = 7$, $5x + 8 = 0 \Rightarrow x = -\frac{8}{5}$.

Now, we have four critical points: $x = -3$, $x = \frac{2}{3}$, $x = 7$, and $x = -\frac{8}{5}$.

Next, we'll create intervals on the number line:

2. Create intervals: We'll consider five intervals: $(-\infty, -3)$, $(-3, \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}, 7)$, $(7, -\frac{8}{5})$, and $(-\frac{8}{5}, \infty)$.

Now, we'll test each interval to see if the expression is negative or positive:

3. Test intervals:
   • For $(-\infty, -3)$: Choose $x = -4$: $(-4+3)(3(-4)-2)^5(7-(-4))^3(5(-4)+8)^2 = (-1)(-62)^5(11)^3(-12)^2 < 0$ (Negative)
   • For $(-3, \frac{2}{3})$: Choose $x = 0$: $(0+3)(3(0)-2)^5(7-(0))^3(5(0)+8)^2 = (3)(-2)^5(7)^3(8)^2 > 0$ (Positive)
   • For $(\frac{2}{3}, 7)$: Choose $x = 3$: $(3+3)(3(3)-2)^5(7-(3))^3(5(3)+8)^2 = (6)(25)(4)^3(23)^2 > 0$ (Positive)
   • For $(7, -\frac{8}{5})$: Choose $x = 8$: $(8+3)(3(8)-2)^5(7-(8))^3(5(8)+8)^2 = (11)(382)^5(-1)^3(48)^2 < 0$ (Negative)
   • For $(-8/5, \infty)$: Choose $x = 0$: $(0+3)(3(0)-2)^5(7-(0))^3(5(0)+8)^2 = (3)(-2)^5(7)^3(8)^2 > 0$