Question

Докажите, что x^2+2x+y^2-4y+5 принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Answer 1

$( {x}^{2} + 2x + 1) + ( {y}^{2} - 4y + 1) - 1 - 1 + 5 \\ {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + 3$
любое число в квадрате>0
сумма положительных чисел есть число положительное>0

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

x²+2x+1-1+y²-4y+4-4+5=(x²+2x+1)+(y²-4y+4)-1-4+5=(x+1)²+(y-2)²

каждое слагаемое положительно при любом значении переменной, значит и их сумма положительна при любом значении переменных

Answer 3

Для доказательства, что выражение $x^2+2x+y^2-4y+5$ принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных, нужно показать, что оно всегда больше или равно нулю.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

1. $x^2+2x$: Это квадратное выражение в переменной $x$. Мы можем преобразовать его, завершив квадрат:

   $x^2+2x = (x+1)^2 - 1.$

   Получили выражение вида $(x+1)^2 - 1$, которое всегда будет больше или равно -1 (потому что квадрат неотрицательный). Таким образом, $x^2+2x$ всегда больше или равно -1.

2. $y^2-4y$: Аналогично предыдущему слагаемому, можем преобразовать его в завершенный квадрат:

   $y^2-4y = (y-2)^2 - 4.$

   Получили выражение вида $(y-2)^2 - 4$, которое всегда будет больше или равно -4 (потому что квадрат неотрицательный). Таким образом, $y^2-4y$ всегда больше или равно -4.

Теперь суммируем оба преобразованных слагаемых:

$(x+1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + 5 = (x+1)^2 + (y-2)^2$.

Так как квадрат любого числа неотрицательный, то $(x+1)^2$ и $(y-2)^2$ всегда неотрицательны.

Следовательно, сумма $(x+1)^2 + (y-2)^2$ всегда неотрицательна, а значит, и исходное выражение $x^2+2x+y^2-4y+5$ также принимает неотрицательные значения при любых значениях переменных $x$ и $y$.