Question

Доведіть нерівність: (а+3)(b+27)(a+b)≥72ab; a≥0; b≥0; c≥0

Answer 1

Для неотрицательных чисел a,b,c применим неравенство Коши

$a+3\geq 2\sqrt{3a}\\ b+27\geq 2\sqrt{27b}=6\sqrt{3b}\\ a+b\geq 2\sqrt{ab}$

Перемножая эти неравенства, мы получим

$(a+3)(b+27)(a+b)\geq 2\sqrt{3a}\cdot 6\sqrt{3b}\cdot 2\sqrt{ab}=72ab$

Answer 2

Для доведення даної нерівності, спростимо ліву частину і праву частину, і зробимо порівняння:

Ліва частина нерівності: (а+3)(b+27)(a+b)

Розкриємо дужки і спростимо: (a + 3)(b + 27)(a + b) = (ab + 27a + 3b + 81)(a + b) = ab(a + b) + 27a(a + b) + 3b(a + b) + 81(a + b) = (a^2b + ab^2) + (27a^2 + 27ab) + (3ab + 3b^2) + (81a + 81b)

Права частина нерівності: 72ab

Тепер порівняємо ліву і праву частини нерівності:

(a^2b + ab^2) + (27a^2 + 27ab) + (3ab + 3b^2) + (81a + 81b) ≥ 72ab

Виділимо спільні члени та спростимо:

a^2b + ab^2 + 27a^2 + 27ab + 3ab + 3b^2 + 81a + 81b ≥ 72ab

Перенесемо всі терміни на ліву сторону нерівності:

a^2b + ab^2 + 27a^2 + 27ab + 3ab + 3b^2 + 81a + 81b - 72ab ≥ 0

Тепер згрупуємо подібні члени:

a^2b + ab^2 + 27a^2 + 27ab + 3ab + 3b^2 + 81a + 81b - 72ab = a^2b + ab^2 + 27a^2 + 27ab - 69ab + 3b^2 + 81a + 81b

Тепер спростимо подібні члени і залишимо тільки необхідні:

a^2b + ab^2 + 27a^2 - 42ab + 3b^2 + 81a + 81b ≥ 0

Розділимо на 3, щоб спростити:

a^2b/3 + ab^2/3 + 9a^2 - 14ab + b^2 + 27a + 27b ≥ 0

Тепер перепишемо це у факторизованому вигляді:

a^2b/3 + ab^2/3 + 9a^2 - 14ab + b^2 + 27a + 27b = (a^2b/3 + ab^2/3) + 9a^2 + b^2 + (-14ab + 27a) + (27b)

Можна помітити, що кожна дужка містить позитивний множник, і ми знаємо, що a, b ≥ 0. Тому кожний доданок вище є невід'ємним числом або нулем.

Оскільки кожен доданок є невід'ємним числом або нулем, то всі вони разом теж будуть невід'ємними числами або нулем:

(a^2b/3 + ab^2/3) + 9a^2 + b^2 + (-14ab + 27a) + (27b) ≥ 0

Таким чином, ми довели, що нерівність (а+3)(b+27)(a+b) ≥ 72ab виконується при умові a ≥ 0 і b ≥ 0.