Question

Помогите решить ДУ первого порядка y'*y^2=sin(2x)+x

Answer 1

данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dy}{dx}\cdot y^2=\sin 2x+x\\ \\ y^2dy=(\sin 2x+x)dx~~\Rightarrow~~ \displaystyle \int y^2dy=\int (\sin 2x+x)dx\\ \\ \dfrac{y^3}{3}=-\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{x^2}{2}+C\\ \\ y=\sqrt[3]{-\dfrac{3}{2}\cos 2x+\dfrac{3x^2}{2}+C}$

Получили общее решение дифференциального уравнения.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка, используем метод разделяющихся переменных. Уравнение имеет вид:

y' * y^2 = sin(2x) + x

Для начала перепишем уравнение в более удобной форме, чтобы можно было применить метод разделяющихся переменных. Для этого разделим обе части уравнения на y^2:

y' = (sin(2x) + x) / y^2

Теперь разделим переменные, перемещая y^2 на одну сторону и перемещая dx на другую:

y^2 dy = (sin(2x) + x) dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫ y^2 dy = ∫ (sin(2x) + x) dx

Для левой части уравнения используем степенное правило интегрирования:

∫ y^2 dy = y^3 / 3 + C1

Для правой части уравнения вычислим интеграл:

∫ (sin(2x) + x) dx = - (1/2) cos(2x) + (1/2) x^2 + C2

Где C1 и C2 - это произвольные постоянные интегрирования.

Теперь, уравнивая оба выражения, получим:

y^3 / 3 + C1 = - (1/2) cos(2x) + (1/2) x^2 + C2

Для решения уравнения определим новую произвольную константу с объединением C1 и C2:

C = C2 - C1

Теперь уравнение примет вид:

y^3 / 3 = - (1/2) cos(2x) + (1/2) x^2 + C

Далее найдем значение y:

y^3 = 3 * [-(1/2) cos(2x) + (1/2) x^2 + C]

y = [3 * (-(1/2) cos(2x) + (1/2) x^2 + C)]^(1/3)

Таким образом, решение исходного дифференциального уравнения первого порядка:

y = [3 * (-(1/2) cos(2x) + (1/2) x^2 + C)]^(1/3)

Где C - произвольная постоянная.