Question

Найти , где {} - арифметическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от нуля.

Answer 1

Распишем сначала сумму для удобства и потом подсчитаем предел

$\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+...+\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{d}{a_1a_2}+\dfrac{d}{a_2a_3}+...+\dfrac{d}{a_na_{n+1}}\right)=\\ \\ \\= \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{d}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{d}{(a_1+d)(a_1+2d)}+...+\dfrac{d}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{a_1+d-a_1}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{a_1+2d-(a_1+d)}{(a_1+d)(a_1+2d)}+...+\dfrac{a_1+nd-(a_1+(n-1)d)}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}\bigg)=$

$=\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+d}+\dfrac{1}{a_1+d}-\dfrac{1}{a_1+2d}+...+\dfrac{1}{a_1+(n-1)d}-\dfrac{1}{a_1+nd}\bigg)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{d}\cdot \left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+nd}\right)$

Переходя к пределу при  $n\to \infty$ мы получим

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+nd}\right)=\dfrac{1}{a_1d}$

Ответ: $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+...+\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\right)=\dfrac{1}{a_1d}$

Answer 2

Для нахождения значения n в арифметической прогрессии, где все члены и разность отличны от нуля, нам необходимо знать несколько известных величин: первый член прогрессии a₁, разность d и значение искомого члена прогрессии aₙ.

Арифметическая прогрессия задается формулой:

aₙ = a₁ + (n - 1) * d,

где aₙ - n-й член прогрессии, a₁ - первый член прогрессии, n - порядковый номер члена прогрессии, d - разность прогрессии.

По условию, все члены прогрессии и разность отличны от нуля, поэтому мы можем утверждать, что a₁ ≠ 0, d ≠ 0 и aₙ ≠ 0.

Найдем значение n, где aₙ = 0:

0 = a₁ + (n - 1) * d.

Выразим n:

(n - 1) * d = -a₁, n - 1 = -a₁ / d, n = 1 - a₁ / d.

Таким образом, значение n, при котором aₙ = 0, равно 1 - a₁ / d.