Question

Алгебра 10 класс самая первая тема. Задано решить данный номер: Натуральные числа 5n+1 и 7n+2 делятся на натуральное чисто m>1. Найти m. Попыталась решить сама не получилось. Смотрела уже решённый номер на знаниях, но тоже ничего не поняла. Объясните, пожалуйста и разжуйте мне как задания такого типа решать. Буду очень благодарна!(´｡• ω •｡`)

Answer 1

Ответ:

3

Объяснение:

Пусть a = 5n+1 ; b = 7n+2 ,  так как а и b  кратны m , то  5b и 7а

 также  кратны  m ⇒ 5b - 7a  делится на m ;  

 5b - 7a  = 35n + 10 - 35n -  7 = 3 ⇒   3 делится на m  и

так как m > 1 ,  то m = 3 ,  при n = 7   a = 36  и   b = 51  и оба эти

числа кратны 3  ⇒ существует n , при котором a и b кратны 3

 и  доказано , что 3 - единственное число ,  на которое a и b

могут  делиться  одновременно

Answer 2

Конечно, разберемся вместе! Для решения этой задачи, нам необходимо найти такое натуральное число m (> 1), которое делит оба выражения 5n + 1 и 7n + 2 без остатка.

Давайте посмотрим на выражения 5n + 1 и 7n + 2:

1. 5n + 1
2. 7n + 2

Чтобы натуральные числа 5n + 1 и 7n + 2 делились на m, значит, их разность тоже должна делиться на m. Давайте это учтем:

(7n + 2) - (5n + 1) = 7n + 2 - 5n - 1 = 2n + 1

Таким образом, выражение 2n + 1 также должно делиться на m.

Теперь нам нужно найти наименьшее возможное m, для которого выражение 2n + 1 делится на m для всех возможных значений n.

Для этого рассмотрим последовательность значений 2n + 1 при различных значениях n:

n = 1, 2n + 1 = 21 + 1 = 3 n = 2, 2n + 1 = 22 + 1 = 5 n = 3, 2n + 1 = 23 + 1 = 7 n = 4, 2n + 1 = 24 + 1 = 9 ...

Мы видим, что значения 2n + 1 образуют последовательность простых чисел (3, 5, 7, 9, ...). Простые числа имеют всего два делителя: 1 и само число. Таким образом, наименьшее возможное m, которое делит 2n + 1 для всех возможных значений n, равно 1.

Таким образом, ответ на задачу: m = 1.

Это значит, что 5n + 1 и 7n + 2 делятся на любое натуральное число m (> 1).