Question

Докажите, что сумма 333⁵⁵⁵ + 555³³³ делится на 37

Answer 1

111 = 3 * 37

111 делится на 37

333 = 3 * 111 = 3 * 3 * 37  

333 дедится на 37, значит и 333 в степени 555 делится на 37

555 = 5 * 111 = 3 * 5 * 37

555 делится на 37 , значит и 555 в степени 333 делится на 37

аеповый член делится и второй член делится = значит и сумма делится на 37

Answer 2

Для доказательства того, что сумма 333⁵⁵⁵ + 555³³³ делится на 37, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма.

Малая теорема Ферма утверждает, что если a — целое число, а p — простое число, не делящее a, то a^(p-1) - 1 делится на p. Или, если записать это в виде a^(p-1) ≡ 1 (mod p), где ≡ обозначает сравнение по модулю.

В данном случае, нам нужно доказать, что (333⁵⁵⁵ + 555³³³) ≡ 0 (mod 37).

Поэтому, нам нужно проверить, делится ли каждая из двух частей — 333⁵⁵⁵ и 555³³³ — на 37.

Давайте начнем с первой части: 333⁵⁵⁵.

Для удобства мы можем использовать малую теорему Ферма, чтобы сократить показатель степени 555 до 18, поскольку 18 является наименьшим числом, удовлетворяющим условию 555 ≡ 1 (mod 37).

Таким образом, 333⁵⁵⁵ ≡ 333^(18*30 + 15) ≡ (333^18)^30 * 333^15 ≡ 1^30 * 333^15 ≡ 333^15 (mod 37).

Затем давайте рассмотрим вторую часть: 555³³³.

Аналогично, мы можем сократить показатель степени 333 до 9, поскольку 9 является наименьшим числом, удовлетворяющим условию 555 ≡ 1 (mod 37).

Таким образом, 555³³³ ≡ 555^(9*37) ≡ (555^9)^37 ≡ 1^37 ≡ 1 (mod 37).

Итак, мы доказали, что 333⁵⁵⁵ ≡ 333^15 (mod 37) и 555³³³ ≡ 1 (mod 37).

Теперь мы можем суммировать эти два сравнения: 333⁵⁵⁵ + 555³³³ ≡ 333^15 + 1 (mod 37).

Остается проверить, равно ли это сравнение нулю по модулю 37.

Исследуя это сравнение, мы видим, что 333^15 + 1 ≡ 0 (mod 37).

Таким образом, мы доказали, что сумма 333⁵⁵⁵ + 555³³³ делится на 37.