Question

Докажите что при любых значениях переменной верно неравенство (5a+1)^2/5>=4a

Answer 1

$\dfrac{(5a+1)^2}{5}\geq 4a~\bigg|\cdot 5~~~~\Rightarrow~~~ (5a+1)^2\geq20a\\ \\ \\ 25a^2+10a+1\geq 20a\\ \\ 25a^2-10a+1\geq 0\\ \\ (5a-1)^2\geq 0$

Неравенство выполняется при любых значениях а

Answer 2

Рассмотрим разность левой и правой части. (5a+1)²/5≥4a, получим

(5a+1)²/5-4a=(25²+10а+1-20а)/5=(25а²-10а+1)/5=(5а-1)²/5

при а=1/5, эта разность равна нулю, в остальных случаях, при любом значении а она больше нуля. Значит, левая часть не меньше правой. А это и надо было доказать.

Answer 3

Для доказательства данного неравенства, рассмотрим все возможные случаи:

1. Пусть a > 0: Тогда неравенство (5a + 1)^2 / 5 >= 4a станет: (5a + 1)^2 >= 20a

   Раскроем квадрат слева: 25a^2 + 10a + 1 >= 20a

   Перенесем все члены в левую часть: 25a^2 - 10a + 1 >= 0

   Теперь рассмотрим дискриминант квадратного уравнения 25a^2 - 10a + 1 = 0: D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 25 * 1 = 100 - 100 = 0

   Дискриминант равен нулю, что означает, что уравнение имеет единственный корень: a = (-b) / 2a = 10 / (2 * 25) = 10 / 50 = 1/5

   Значение a = 1/5 является точкой экстремума для данной квадратной функции.

   Теперь рассмотрим знаки выражения (5a + 1)^2 / 5 - 4a в интервалах: a < 1/5: В данном интервале выражение (5a + 1)^2 / 5 - 4a < 0. a > 1/5: В данном интервале выражение (5a + 1)^2 / 5 - 4a > 0.

   Итак, при a > 0, неравенство (5a + 1)^2 / 5 >= 4a верно.

2. Пусть a = 0: Подставим a = 0 в неравенство: (5 * 0 + 1)^2 / 5 >= 4 * 0 1^2 / 5 >= 0 1/5 >= 0

   Неравенство выполняется.

3. Пусть a < 0: Пусть b = -a (таким образом, b > 0), тогда перепишем неравенство: (5 * (-b) + 1)^2 / 5 >= 4 * (-b) (-5b + 1)^2 / 5 >= -4b

   Проведем аналогичные рассуждения, как и для случая a > 0:

   Раскроем квадрат слева: 25b^2 - 10b + 1 >= -4b

   Перенесем все члены в левую часть: 25b^2 + 6b + 1 >= 0

   Теперь рассмотрим дискриминант квадратного уравнения 25b^2 + 6b + 1 = 0: D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 25 * 1 = 36 - 100 = -64

   Дискриминант отрицательный, что означает, что уравнение не имеет действительных корней, и, следовательно, всегда положительно для любых значений b.

   Таким образом, при a < 0, неравенство (5a + 1)^2 / 5 >= 4a также выполняется.

Итак, мы доказали, что неравенство (5a + 1)^2 / 5 >= 4a верно при любых значениях переменной a.