Question

Натуральное число N в три раза больше своего наибольшего делителя, отличного от него. Может ли это число быть в 10 раз больше какого-то другого своего делителя? Если такое число есть, то приведите пример. Если такого числа нет, объяснить, почему.

Answer 1

Ответ:

НЕВОЗМОЖНО!!!

Чтобы число было больше в три раз больше наибольшого делителя то все простые множители этого делителя долдны быть больше трех чтобы он был наибольшим. Если одним из простых множителей будет два то будет делитей который вместо этой двойки будет содержать тройку. Следует делитель не будет наибольшим.

Из наших рассуждений следует что наименьший делитель после 1 это 3. Какой-то делитель в десять раз меньше самого числа, но это невозможно так как делителем 10 равняется 2 следует наименьшим делителем будет 2, а не 3, противоречие!

Answer 2

Пусть N - искомое натуральное число. Давайте рассмотрим два случая:

1. Если N имеет только один делитель, отличный от самого себя, то это наибольший делитель N. По условию, N в три раза больше этого делителя, значит, наибольший делитель равен N/3. Однако, такое деление не является делением без остатка, поскольку N/3 не является целым числом. Значит, в этом случае N не может быть в 10 раз больше другого делителя.

2. Если N имеет несколько делителей, отличных от самого себя, то существует наименьший делитель d1 и наибольший делитель d2, где d1 < d2. По условию, N в три раза больше наибольшего делителя, отличного от самого N, то есть N = 3d2. Также по условию, N в 10 раз больше другого делителя, то есть N = 10d1.

Сравнивая оба выражения для N, получаем:

3d2 = 10d1

Это уравнение можно переписать в виде:

d2 = (10/3)d1

Поскольку d2 - целое число, а (10/3)d1 - не является целым числом, такое равенство не может быть выполнено.

Итак, мы пришли к выводу, что такое число N не существует. Нет натурального числа, которое было бы в 10 раз больше своего делителя.