Question

Найдите разложения следующих полиномов (3х+2а)^6​

Answer 1

Бином Ньютона: $(a+b)^n=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}C^k_na^{n-k}b^k$

Применяя формулу бинома Ньютона, мы получим

$(3x+2a)^6=\displaystyle \sum^6_{k=0}C^k_6(3x)^{6-k}\cdot (2a)^{k}=C^0_6\cdot (3x)^{6-0}\cdot (2a)^0+\\ \\ +C^1_6\cdot (3x)^{6-1}\cdot (2a)^1+C^2_6\cdot (3x)^{6-2}\cdot (2a)^2+C^3_6\cdot (3x)^{6-3}\cdot (2a)^3+\\ \\ +C^4_6\cdot (3x)^{6-4}\cdot (2a)^4+C^5_6\cdot (3x)^{6-5}\cdot (2a)^5+C^6_6\cdot (3x)^{6-6}\cdot (2a)^6=\\ \\ =(3x)^6+6\cdot (3x)^5\cdot 2a+\dfrac{6!}{4!2!}\cdot (3x)^4\cdot (2a)^2+\dfrac{6!}{3!3!}\cdot (3x)^3\cdot (2a)^3+\\ \\ +\dfrac{6!}{4!2!}\cdot (3x)^2\cdot (2a)^4+6\cdot 3x\cdot (2a)^5+(2a)^6=$

$=729x^6+2916x^5a+4860x^4a^2+4320a^3x^3+2160x^2a^4+576xa^5+64a^6$

Где разложения полинома:

$a_1=729x^6\\ a_2=2916x^5a\\ a_3=4860x^4a^2\\ a_4=4320a^3x^3\\ a_5=2160x^2a^2\\ a_6=576xa^5\\ a_7=64a^6$

Answer 2

Для разложения полинома (3x + 2a)^6, мы можем воспользоваться биномиальной формулой (формула для степеней бинома):

(a + b)^n = Σ [C(n, k) * (a^(n-k)) * (b^k)], где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), это биномиальный коэффициент (количество комбинаций из n элементов, выбранных k элементами).

В нашем случае a = 3x, b = 2a, и n = 6. Подставим значения и начнем раскрывать:

(3x + 2a)^6 = Σ [C(6, k) * ((3x)^(6-k)) * ((2a)^k)]

Теперь вычислим биномиальные коэффициенты для k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, и 6:

C(6, 0) = 6! / (0! * (6 - 0)!) = 1 C(6, 1) = 6! / (1! * (6 - 1)!) = 6 C(6, 2) = 6! / (2! * (6 - 2)!) = 15 C(6, 3) = 6! / (3! * (6 - 3)!) = 20 C(6, 4) = 6! / (4! * (6 - 4)!) = 15 C(6, 5) = 6! / (5! * (6 - 5)!) = 6 C(6, 6) = 6! / (6! * (6 - 6)!) = 1

Теперь подставим значения в нашу формулу и упростим:

(3x + 2a)^6 = 1*(3x)^6 + 6*(3x)^5*(2a) + 15*(3x)^4*(2a)^2 + 20*(3x)^3*(2a)^3 + 15*(3x)^2*(2a)^4 + 6*(3x)(2a)^5 + 1(2a)^6

Упростим степени и умножения:

(3x)^6 = 3^6 * x^6 = 729x^6 (3x)^5 = 3^5 * x^5 = 243x^5 (3x)^4 = 3^4 * x^4 = 81x^4 (3x)^3 = 3^3 * x^3 = 27x^3 (3x)^2 = 3^2 * x^2 = 9x^2 (3x) = 3x

(2a)^6 = 2^6 * a^6 = 64a^6 (2a)^5 = 2^5 * a^5 = 32a^5 (2a)^4 = 2^4 * a^4 = 16a^4 (2a)^3 = 2^3 * a^3 = 8a^3 (2a)^2 = 2^2 * a^2 = 4a^2 (2a) = 2a

Подставим обратно в нашу формулу:

(3x + 2a)^6 = 729x^6 + 6 * 243x^5 * 2a + 15 * 81x^4 * 4a^2 + 20 * 27x^3 * 8a^3 + 15 * 9x^2 * 16a^4 + 6 * 3x * 32a^5 + 64a^6

Теперь можно упростить коэффициенты:

(3x + 2a)^6 = 729x^6 + 1458ax^5 + 972a^2x^4 + 4320a^3x^3 + 1440a^4x^2 + 576a^5x + 64a^6

Это и есть окончательное разложение полинома (3x + 2a)^6.