Question

Исследовать на экстремум функцию z=x^3+y^3-3xy

Answer 1

.........................

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции z = x^3 + y^3 - 3xy, нужно вычислить частные производные по переменным x и y и приравнять их к нулю:

1. Найдем частную производную по x: ∂z/∂x = 3x^2 - 3y

2. Найдем частную производную по y: ∂z/∂y = 3y^2 - 3x

Теперь приравняем обе частные производные к нулю и решим систему уравнений:

1. 3x^2 - 3y = 0
2. 3y^2 - 3x = 0

Для начала, решим первое уравнение относительно y:

3y = 3x^2 y = x^2

Теперь подставим найденное значение y во второе уравнение:

3(x^2)^2 - 3x = 0 3x^4 - 3x = 0

Вынесем общий множитель 3x:

3x(x^3 - 1) = 0

Теперь решим полученное уравнение:

1. x = 0

2. x^3 - 1 = 0 x^3 = 1 x = 1

Таким образом, получаем две точки, в которых может быть экстремум функции: (0, 0) и (1, 1).

Чтобы определить, является ли найденные точки экстремумами, нужно проанализировать вторые частные производные (частные производные частных производных) и использовать критерий дифференцируемости функции. Однако, с учетом того, что в данной задаче нет ограничений или условий, мы можем использовать тест знака вторых производных:

1. Вычислим вторую частную производную по x: ∂^2z/∂x^2 = 6x

2. Вычислим вторую частную производную по y: ∂^2z/∂y^2 = 6y

Теперь подставим найденные значения x и y:

1. В точке (0, 0): ∂^2z/∂x^2 = 6 * 0 = 0 (не дает информации)

∂^2z/∂y^2 = 6 * 0 = 0 (не дает информации)

2. В точке (1, 1): ∂^2z/∂x^2 = 6 * 1 = 6 (положительное значение)

∂^2z/∂y^2 = 6 * 1 = 6 (положительное значение)

Теперь воспользуемся критерием для функции двух переменных:

Если ∂^2z/∂x^2 * ∂^2z/∂y^2 - (∂^2z/∂x∂y)^2 > 0 и ∂^2z/∂x^2 > 0, то это точка минимума. Если ∂^2z/∂x^2 * ∂^2z/∂y^2 - (∂^2z/∂x∂y)^2 > 0 и ∂^2z/∂x^2 < 0, то это точка максимума.

В нашем случае:

(6 * 6) - (0)^2 = 36 > 0

∂^2z/∂x^2 = 6 > 0

Оба условия выполняются, поэтому точка (1, 1) является точкой минимума функции. При этом, точка (0, 0) не может быть точкой экстремума, так как тест знака вторых производных не дает информации о ее характере.

Итак, экстремум функции z = x^3 + y^3 - 3xy: минимум в точке (1, 1).