Question

Найти в градусах сумму а + b. Если sin(a)=2/√5, cos(b)=1/√10. Углы a и b принадлежат первой четверти.

Answer 1

$1)Sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}} \\\\Cos\alpha=\sqrt{1-Sin^{2}\alpha}=\sqrt{1-(\frac{2}{\sqrt{5}})^{2}}=\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\\\\2)Cos\beta=\frac{1}{\sqrt{10}}\\\\Sin\beta=\sqrt{1-Cos^{2}\beta}=\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{10}})^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$

$3)Sin(\alpha +\beta )=Sin\alpha Cos\beta +Sin\beta Cos\alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}*\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{3}{\sqrt{10}}*\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}*\sqrt{10}}+\frac{3}{\sqrt{5}*\sqrt{10}}=\frac{5}{(\sqrt{5})^{2}*\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$Sin(\alpha +\beta )=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\\alpha +\beta=45^{o}\\\\Otvet:\boxed{45^{o} }$

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать тригонометрические соотношения и свойства.

Известно, что sin(a) = 2/√5 и a находится в первой четверти, где sin(a) положителен. Так как sin(a) = противоположная сторона / гипотенуза, мы можем представить соответствующий прямоугольный треугольник:

perlCopy code
 -----
|     /
|    /
|   /
|a /
| /
|/

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Так как угол a находится в первой четверти, его смежный угол является прямым, поэтому гипотенуза равна 1:

(sin(a))^2 + (cos(a))^2 = 1 (2/√5)^2 + (cos(a))^2 = 1 4/5 + (cos(a))^2 = 1 (cos(a))^2 = 1 - 4/5 (cos(a))^2 = 1/5 cos(a) = ±√(1/5)

Так как угол a находится в первой четверти, cos(a) положителен. Поэтому cos(a) = √(1/5).

Аналогично, известно, что cos(b) = 1/√10 и b находится в первой четверти, где cos(b) положителен:

cos(b) = 1/√10

Теперь, чтобы найти сумму углов a и b, мы можем использовать свойство косинуса суммы:

cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

Подставляем известные значения:

cos(a + b) = (√(1/5)) * (1/√10) - (2/√5) * sin(b)

cos(a + b) = √(1/50) - (2/√5) * sin(b)

Используя свойство косинуса, мы можем найти cos(a + b). Теперь возьмем арккосинус от обеих сторон:

a + b = arccos(√(1/50) - (2/√5) * sin(b))

Таким образом, сумма углов a и b равна arccos(√(1/50) - (2/√5) * sin(b)) в градусах.