Question

Учитель записал на доске 5 чисел, их сумма равна 2020, могло ли произведение записанных на доске чисел оканчиваться на 2019,, если да то приведите пример таких чисел, если нет то почему?

Answer 1

Ответ:

Не могло

Объяснение:

Если произведение кончается на 2019, последняя цифра 9, то все 5 чисел нечётные.

5 нечётных чисел не могут в сумме дать четное число 2020.

Поэтому ответ: не может такого быть.

Answer 2

Произведение двух чисел может оканчиваться на 2019 только в том случае, если хотя бы одно из чисел оканчивается на 9, а другое - на 3. Это связано с тем, что число, оканчивающееся на 9, будет иметь в своей записи множитель 9, а число, оканчивающееся на 3, будет иметь в своей записи множитель 223, поскольку 223 является обратимым элементом по модулю 1000 (223 * 9 = 2007 ≡ 7 (mod 1000), а 7 * 3 = 21 ≡ 21 (mod 1000)).

Однако, сумма пяти чисел, равная 2020, не может иметь одно из чисел, оканчивающихся на 9, и другое - на 3. Это можно объяснить следующим образом: пусть сумма трех чисел, оканчивающихся на 9, равна S1, а сумма двух чисел, оканчивающихся на 3, равна S2. Тогда сумма всех пяти чисел будет равна S1 + S2, и она должна быть равна 2020. Однако, ни S1, ни S2 не могут быть кратными 10, так как сумма кратных 10 чисел также будет кратна 10. Поэтому невозможно, чтобы сумма пяти чисел, равная 2020, состояла из чисел, оканчивающихся на 9 и 3.

Таким образом, нет возможности найти пример пяти чисел, сумма которых равна 2020, и произведение которых оканчивается на 2019.