Question

Найдите наименьший положительный период функции y=(tgx-tgx/3)/(1+tgx tgx/3). Прошу помогите

Answer 1

$y=\frac{tgx-tg\frac{x}{3}}{1+tgx\cdot tg\frac{x}{3}}=tg(x-\frac{x}{3})=tg\frac{2x}{3}\\\\T(y)=\frac{\pi }{2/3}=\frac{3\pi }{2}$

Answer 2

Для нахождения наименьшего положительного периода функции $y = \frac{\tan x - \frac{\tan x}{3}}{1 + \tan x \cdot \frac{\tan x}{3}}$ нужно найти такое положительное число $P$, при котором функция повторяется.

Период функции $P$ - это значение $x$, при котором $f(x) = f(x + P)$ для всех $x$ в области определения функции.

Давайте проанализируем данную функцию:

$y = \frac{\tan x - \frac{\tan x}{3}}{1 + \tan x \cdot \frac{\tan x}{3}}$

Мы знаем, что период функции тангенса $y = \tan x$ равен $\pi$:

$\tan(x + \pi) = \tan x$

Теперь рассмотрим знаменатель у нашей функции:

$1 + \tan x \cdot \frac{\tan x}{3} = 1 + \frac{\tan^2 x}{3}$

Этот знаменатель похож на квадрат тангенса, который тоже имеет период $\pi$:

$\tan^2(x + \pi) = \tan^2 x$

Теперь вспомним, что у нас есть дополнительное вычитание $\frac{\tan x}{3}$ в числителе. Чтобы это не влияло на период функции, должно быть выполнено:

$\frac{\tan(x + \pi) - \frac{\tan(x + \pi)}{3}}{1 + \tan(x + \pi) \cdot \frac{\tan(x + \pi)}{3}} = \frac{\tan x - \frac{\tan x}{3}}{1 + \tan x \cdot \frac{\tan x}{3}}$

Таким образом, чтобы функция была периодична, необходимо, чтобы $\frac{\tan(x + \pi)}{3} = \frac{\tan x}{3}$.

Для тангенса это выполняется, если $x$ увеличивается на $\pi$. Но у нашей функции также есть $\tan x$ в числителе, что приводит к дополнительному изменению значений функции при $x \rightarrow x + \pi$.

Таким образом, у функции $y = \frac{\tan x - \frac{\tan x}{3}}{1 + \tan x \cdot \frac{\tan x}{3}}$ нет периода, и она не является периодической функцией в обычном смысле.

Получается, что данная функция не имеет наименьшего положительного периода. Она не периодическая и будет изменяться бесконечно без повторений в интервале $-\infty < x < \infty$.