Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ! С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ ПЖ! Докажите, что в треугольнике r/ 4R = sin( a/2)sin(b/2)sin(c/2), где a,b,c - углы треугольника

Answer 1

.......................

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся формулой синуса для треугольников:

В общем случае, для треугольника с сторонами a, b и c и противолежащими углами A, B и C соответственно, формула синуса гласит:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R,

где R - радиус описанной окружности треугольника.

Теперь, для треугольника с радиусом описанной окружности R и вписанной окружности радиусом r, существует следующее соотношение:

r = 2Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2).

Теперь докажем исходное утверждение:

Для треугольника со сторонами a, b и c и противолежащими углами A, B и C, имеем:

r / 4R = (2Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)) / (4R) = (sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)) / 2

Таким образом, мы получили, что:

r / 4R = (sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)) / 2

Перемножим обе части уравнения на 2:

2 * r / 4R = (sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)) r / 2R = (sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2))

Таким образом, мы доказали исходное утверждение:

r / 4R = sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),

где a, b, c - стороны треугольника, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности, A, B, C - углы треугольника.