Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!2(xy'+y)=xy^2 y(1)=2

Answer 1

Ответ:

....................

Answer 2

Конечно, я помогу! Давайте решим вашу дифференциальную задачу:

1. Начнем с уравнения: 2(xy' + y) = xy^2.

2. Разделим обе части на 2: xy' + y = (1/2)xy^2.

3. Теперь преобразуем уравнение в уравнение с разделяющимися переменными. Вынесем y за скобку: y'(x) + (1/y)(x)y^2 = (1/2)x.

4. Теперь перепишем уравнение в виде (dy/dx) + (1/y)y^2 = (1/2)x.

5. Теперь решим уравнение. Разделим обе части на (1/2)x: (dy/dx) + (1/y)y^2 = 1/x.

6. Теперь переместим (1/y)y^2 на другую сторону уравнения, чтобы сделать уравнение разделяющимися переменными: (dy/dx) = 1/x - (1/y)y^2.

7. Теперь перенесем (1/y)y^2 на правую сторону уравнения: (dy/dx) = 1/x - y.

8. Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения по отдельности: ∫(1/y) dy = ∫(1/x - y) dx.

9. Интегрируем левую сторону: ln|y| = ln|x| - (1/2)y^2 + C1, где С1 - произвольная константа интегрирования.

10. Теперь избавимся от натурального логарифма, возведя обе стороны в экспоненту: |y| = |x| * e^(-(1/2)y^2 + C1).

11. Снимем модули с обеих сторон уравнения: y = ± x * e^(-(1/2)y^2 + C1).

12. Введем еще одну константу интегрирования вместо C1: y = ± x * e^(-(1/2)y^2 + C).

Теперь у нас получилось общее решение дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, подставим начальное условие y(1) = 2.

y(1) = ± 1 * e^(-(1/2)(2)^2 + C) = ± e^(-1 + C).

Теперь нам нужно найти константу C. Для этого используем начальное условие:

2 = ± e^(-1 + C).

Так как e^(-1 + C) всегда положительно, у нас есть только одно решение:

e^(-1 + C) = 2.

Теперь найдем C:

C = ln(2) + 1.

Итак, частное решение имеет вид:

y = ± x * e^(-(1/2)y^2 + ln(2) + 1).

Теперь в зависимости от значений x и y вам нужно выбрать знак в предыдущем уравнении (±). Это даст вам два возможных частных решения в окрестности начальной точки (x = 1, y = 2).