Question

Помогите продифференцировать функцию 1.у=(arcsin2x)^ln(x+3) 2.у=lg(4x+7) 3.y=(x+1)^8(x-3)^2/

Answer 1

$1) \ y = (\arcsin 2x)^{\ln(x+3)}\\\ln y = \ln(\arcsin 2x)^{\ln(x+3)}\\\ln y = \ln(x+3) \cdot \ln(\arcsin 2x)\\(\ln y)' = (\ln(x+3) \cdot \ln(\arcsin 2x))'\\\dfrac{y'}{y} = \dfrac{\ln(\arcsin 2x)}{x+3} + \dfrac{2}{\sqrt{1-x^{2}} \arcsin 2x} \\y'=\bigg(\dfrac{\ln(\arcsin 2x)}{x+3} + \dfrac{2}{\sqrt{1-x^{2}} \arcsin 2x} \bigg)\cdot y \\y' = \bigg(\dfrac{\ln(\arcsin 2x)}{x+3} + \dfrac{2}{\sqrt{1-x^{2}} \arcsin 2x} \bigg)(\arcsin 2x)^{\ln(x+3)}$

$2) \ y = \sqrt{\dfrac{6x+5}{6x-5} } \cdot \lg(4x + 7)\\y ' = \dfrac{1}{{2\sqrt{\dfrac{6x+5}{6x-5}}}}} \cdot \dfrac{6(6x-5) - 6(6x+5)}{(6x-5)^{2}}\cdot \lg(4x + 7) + \dfrac{4}{(4x+7)\ln 10} \cdot \sqrt{\dfrac{6x+5}{6x-5} } =\\\\= -\dfrac{30\sqrt{6x-5}\lg(4x + 7)}{\sqrt{6x+5}(6x-5)^{2}} + \dfrac{4}{(4x+7)\ln 10} \cdot \sqrt{\dfrac{6x+5}{6x-5} }$

$3) \ y = (x+1)^{8(x-3)^{\frac{2}{\sqrt{(x+2)^{5}} } }}\\\ln y = \ln(x+1)^{8(x-3)^{\frac{2}{\sqrt{(x+2)^{5}} } }}\\\ln y = 8(x-3)^{\frac{2}{\sqrt{(x+2)^{5}} } } \cdot \ln(x+1)\\\ln (\ln y) = \ln (8(x-3)^{\frac{2}{\sqrt{(x+2)^{5}} } } \cdot \ln(x+1))\\\ln (\ln y) =\ln (8(x-3)^{\frac{2}{\sqrt{(x+2)^{5}} } }) + \ln (\ln(x+1))\\\ln (\ln y) = \dfrac{2}{\sqrt{(x+2)^{5}} } \cdot \ln (8(x-3)) + \ln (\ln(x+1))\\(\ln (\ln y))' = \bigg(\dfrac{2}{\sqrt{(x+2)^{5}} } \cdot \ln (8(x-3)) + \ln (\ln(x+1)) \bigg)'$

$\dfrac{y'}{y\ln y} = -\dfrac{5\ln (8(x-3))}{(x+2)\sqrt{(x+2)^{5}} } + \dfrac{2}{(x-3)\sqrt{(x+2)^{5}}} + \dfrac{1}{(x+1)\ln(x+1)} \\\\y' = \bigg(-\dfrac{5\ln (8(x-3))}{(x+2)\sqrt{(x+2)^{5}} } + \dfrac{2}{(x-3)\sqrt{(x+2)^{5}}} + \dfrac{1}{(x+1)\ln(x+1)} \bigg)\cdot y\ln y$

$y' = \bigg(-\dfrac{5\ln (8(x-3))}{(x+2)\sqrt{(x+2)^{5}} } + \dfrac{2}{(x-3)\sqrt{(x+2)^{5}}} + \dfrac{1}{(x+1)\ln(x+1)} \bigg)\cdot \\\cdot (x+1)^{8(x-3)^{\frac{2}{\sqrt{(x+2)^{5}} } }} \cdot \ln \bigg((x+1)^{8(x-3)^{\frac{2}{\sqrt{(x+2)^{5}} } }}\bigg)$

Answer 2

1. Для дифференцирования функции y = (arcsin(2x))^ln(x + 3), мы применим правило цепочки (chain rule).

Давайте разобъем процесс дифференцирования на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную внешней функции. Пусть u = arcsin(2x), тогда du/dx = (1/√(1 - (2x)^2)) * 2 = 2/√(1 - (2x)^2).

Шаг 2: Найдем производную степенной функции. Пусть v = ln(x + 3), тогда dv/dx = 1/(x + 3).

Шаг 3: Применим правило цепочки. dy/dx = (dv/du) * (du/dx) = (1/(x + 3)) * (2/√(1 - (2x)^2))

Таким образом, производная функции y = (arcsin(2x))^ln(x + 3) равна (2/(x + 3)) * (1/√(1 - (2x)^2)).

2. Для дифференцирования функции y = lg(4x + 7), мы применим правило дифференцирования логарифма.

dy/dx = (1/(4x + 7)) * 4

Таким образом, производная функции y = lg(4x + 7) равна 4/(4x + 7).

3. Для дифференцирования функции y = (x + 1)^8 * (x - 3)^2, мы применим правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования степенной функции.

dy/dx = 8(x + 1)^7 * (x - 3)^2 + 2(x + 1)^8 * (x - 3)

Таким образом, производная функции y = (x + 1)^8 * (x - 3)^2 равна 8(x + 1)^7 * (x - 3)^2 + 2(x + 1)^8 * (x - 3).