Question

Найти производную: (Sin2x / x+3) над скобкой 1-х

Answer 1

$y=\Big (\frac{sin2x}{x+3}\Big )^{1-x}\\\\lny=ln\Big (\frac{sin2x}{x+3\frac{x}{y} }\Big )^{1-x}\\\\lny=(1-x)\cdot ln\frac{sin2x}{x+3}\; \; ,\; \; \; \; \; \; \; (lnu)'=\frac{u'}{u}\\\\\frac{y'}{y}=(1-x)'\cdot ln\frac{sin2x}{x+3}+(1-x)\cdot \Big (ln\frac{sin2x}{x+3}\Big )'\\\\\frac{y'}{y}=-ln\frac{sin2x}{x+3}+(1-x)\cdot \frac{x+3}{sin2x}\cdot \frac{2\, cos2x\cdot (x+3)-sin2x}{(x+3)^2}\\\\y'=y\cdot \Big (-ln\frac{sin2x}{x+3}+(1-x)\cdot \frac{2\, cos2x\cdot (x+3)-sin2x}{(x+3)\cdot sin2x}\Big )$

$y'=\Big (\frac{sin2x}{x+3}\Big )^{1-x}\cdot \Big (-ln\frac{sin2x}{x+3}+(1-x)\cdot \frac{2\, cos2x\cdot (x+3)-sin2x}{(x+3)\cdot sin2x}\Big )\\\\y'=\Big (\frac{sin2x}{x+3}\Big )^{1-x}\cdot \Big (-ln\frac{sin2x}{x+3}+2\, (1-x)\cdot ctg2x-\frac{(1-x)}{(x+3)}\Big )$

Answer 2

Чтобы найти производную данной функции, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования частного и правилом дифференцирования сложной функции.

Для начала, обозначим данную функцию как f(x):

f(x) = (sin(2x)) / (x + 3)^(1 - x)

Затем мы применим правило дифференцирования частного. Для этого нам понадобятся производные числителя и знаменателя:

f'(x) = ( (sin(2x))' * (x + 3)^(1 - x) - (sin(2x)) * ((x + 3)^(1 - x))' ) / ((x + 3)^(1 - x))^2

Давайте вычислим эти производные по очереди:

1. Производная sin(2x):

(sin(2x))' = 2 * cos(2x)

2. Производная (x + 3)^(1 - x):

((x + 3)^(1 - x))' = (1 - x) * (x + 3)^(1 - x - 1) * (x + 3)' + (x + 3)^(1 - x) * ln(x + 3) * (-1)

scssCopy code
            = (1 - x) * (x + 3)^(1 - x - 1) + (x + 3)^(1 - x) * ln(x + 3) * (-1)

            = (1 - x) * (x + 3)^(-x) - (x + 3)^(1 - x) * ln(x + 3)

Теперь, подставим найденные значения обратно в формулу для f'(x):

f'(x) = (2 * cos(2x) * (x + 3)^(1 - x) - (sin(2x)) * ((1 - x) * (x + 3)^(-x) - (x + 3)^(1 - x) * ln(x + 3))) / ((x + 3)^(1 - x))^2

Таким образом, мы получили производную данной функции.