Question

100 БАЛЛОВ Помогите, пожалуйста, решить задачу: Найдите коэффициент при x^17 у многочлена, равного (1+x^5+x^7)^10

Answer 1

Ответ: 360.

Объяснение:

Answer 2

Чтобы найти коэффициент при $x^{17}$ в многочлене $(1+x^5+x^7)^{10}$, мы можем использовать формулу бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона гласит: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k,$ где $\binom{n}{k}$ - биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, у нас есть многочлен $(1+x^5+x^7)^{10}$, где $a=1$, $b=x^5$, и $n=10$. Мы хотим найти коэффициент при $x^{17}$, поэтому $k$ должно удовлетворять условию $n-k+5k=17$. Решая это уравнение, получаем $k=2$, а $n-k=8$.

Теперь мы можем применить формулу бинома Ньютона, чтобы найти коэффициент при $x^{17}$:

(1+x^5+x^7)^{10} &= \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} 1^{10-k} (x^5)^k \\ &= \binom{10}{2} 1^{10-2} (x^5)^2 + \binom{10}{8} 1^{10-8} (x^5)^8 \\ &= \binom{10}{2} x^{10} + \binom{10}{8} x^{40} \\ &= 45x^{10} + 45x^{40}. \end{aligned}\] Таким образом, коэффициент при \(x^{17}\) в многочлене \((1+x^5+x^7)^{10}\) равен нулю.