Question

Cos4x=cos^4x-sin^4x, решите пожалуйста

Answer 1

$cos4x=cos^2x-sin^4x\\\\cos4x=(\underbrace {cos^2x-sin^2x}_{cos2x})(\underbrace {cos^2x+sin^2x}_{1})\\\\cos4x=cos2x\\\\cos4x-cos2x=0\\\\-2sin3x\cdot sinx=0\\\\a)\; \; sin3x=0\; ,\; \; 3x=\pi n\; ,\; x=\frac{\pi n}{3}\; ,\; n\in Z\\\\b)\; \; sinx=0\; ,\; x=\pi k\; ,\; k\in Z\\\\c)\; \; n=3k\; \; \to \; \; x=\frac{\pi n}{3}=\frac{\pi \cdot 3k}{3}=\pi k\\\\Otvet:\; \; x=\frac{\pi n}{3}\; ,\; n\in Z\; .$

Answer 2

Ответ: ВО ВЛОЖЕНИИ Объяснение:

Answer 3

Для решения уравнения cos(4x) = cos^4(x) - sin^4(x), мы можем использовать тригонометрические идентичности.

Заметим, что cos^4(x) - sin^4(x) может быть переписано с использованием формулы разности квадратов:

cos^4(x) - sin^4(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x)) = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь мы можем переписать исходное уравнение:

cos(4x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Используя формулу двойного угла для косинуса, получаем:

2cos^2(2x) - 1 = cos^2(x) - sin^2(x)

Заметим, что cos^2(x) - sin^2(x) может быть записано как cos(2x):

2cos^2(2x) - 1 = cos(2x)

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(2x):

2cos^2(2x) - cos(2x) - 1 = 0

Давайте решим это уравнение, используя замену переменной:

Пусть t = cos(2x), тогда уравнение принимает вид:

2t^2 - t - 1 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или формулы квадратного корня. Если мы используем формулу квадратного корня, получим:

t = (1 ± √(1 - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2)

t = (1 ± √(1 + 8)) / 4

t = (1 ± √9) / 4

t = (1 ± 3) / 4

Таким образом, у нас два возможных значения для t:

t1 = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1

t2 = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Теперь мы вернемся к нашей замене переменной:

cos(2x) = 1 или cos(2x) = -1/2

Для первого уравнения cos(2x) = 1:

2x = 0 + 2πn, где n - целое число

x = πn, где n - целое число

Для второго уравнения cos(2x) = -1/2:

2x = π + 2πn или 2x = -π + 2πn, где n - целое число

x = (π/2) + πn или x = (-π/4) + πn, где n - целое число

Таким образом, решения уравнения cos(4x) = cos^4(x) - sin^4(x) являются:

x = πn, (π/2) + πn, или (-π/4) + πn, где n - целое число.