Question

Разложить ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию f(x)=x^2, x∈(0;2)

Answer 1

Ничего особенного нет. Нужно знать интегрирование и формулы ,а дальше просто сидеть и вычислять

Есть хороший сайт где даны эти формулы и разобраны пару примеров

Answer 2

Для разложения функции $f(x) = x^2$ по синусам кратных дуг на интервале $(0, 2)$ нужно вычислить коэффициенты ряда Фурье.

Общая формула для вычисления коэффициентов $b_n$ ряда Фурье по синусам имеет вид:

$b_n = \frac{2}{L} \int_{a}^{b} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx$

где $L$ - длина периода функции, $n$ - номер гармоники, а $a$ и $b$ - границы интервала, на котором рассматривается функция.

В данном случае, $L = 2-0 = 2$ и $a = 0$, $b = 2$. Подставим значения в формулу для коэффициентов:

$b_n = \frac{2}{2} \int_{0}^{2} x^2 \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx$

Вычислим даный интеграл:

$\int_{0}^{2} x^2 \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx = \left[-\frac{4x^2}{n\pi}\cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + \frac{8x}{(n\pi)^2}\sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_0^2$

Подставим пределы интегрирования и упростим выражение:

$b_n = \frac{2}{n\pi} \left(\frac{8}{(n\pi)^2}\sin(n\pi) + \frac{8}{n\pi}\cos(n\pi) - \frac{0}{(n\pi)^2}\sin(0) - \frac{0}{n\pi}\cos(0)\right)$

Учитывая, что $\sin(n\pi) = 0$ для четных значений $n$ и $\cos(n\pi) = (-1)^n$, упрощаем выражение:

$b_n = \frac{16}{(n\pi)^2}(-1)^{n+1}$

Таким образом, коэффициенты ряда Фурье по синусам кратных дуг для функции $f(x) = x^2$ на интервале $(0, 2)$ будут иметь вид:

\frac{16}{(n\pi)^2} & \text{для } n \text{ - нечетных} \\ 0 & \text{для } n \text{ - четных} \end{cases}\]