Question

Dy/dx-4xy=-4x^3 Пожалуйста помогите, очень прошу!

Answer 1

$\frac{dy}{dx}-4xy=4x^3\\\\y'-4xy=4x^3\\\\y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-4xuv=4x^3\\\\u'v+u\, (v'-4xv)=4x^3\\\\a)\; \; v'-4xv=0\; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=4\int x\, dx\; \; ,\; \; ln|v|=2x^2\; \; ,\; \; v=e^{2x^2}\\\\b)\; \; u'v=4x^3\; \; ,\; \; \frac{du}{dx}\cdot e^{2x^2}=4x^3\; \; ,\; \; \int du=\int 4x^3\cdot e^{-2x^2}\, dx$

$\int 4x^2\cdot (x\cdot e^{2x^2})\, dx=\Big [\; u=4x^2\; ,\; du=8x\, dx\; ,\; dv=x\cdot e^{-2x^2}\, dx\; ,\\\\v=-\frac{1}{4}\int e^{-2x^2}\cdot (-4x)\, dx=-\frac{1}{4}\cdot e^{-2x^2}\; \Big ]=uv-\int v\, du=\\\\=-x^2\cdot e^{-2x^2}+2\int x\cdot e^{-2x^2}\, dx=-x^2\cdot e^{-2x^2}-\frac{1}{2}\cdot e^{-2x^2}+C\; ,\\\\u=-e^{-2x^2}\cdot (x^2+\frac{1}{2}\, )+C\\\\c)\; \; y=uv=-e^{2x^2}}\cdot \Big (e^{-2x^2}\cdot (x^2+\frac{1}{2}\, )+C\Big )=-(x^2+\frac{1}{2}\, )-C\cdot e^{-2x^2}$

Answer 2

Конечно! Давайте решим данное дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение вида dy/dx - 4xy = -4x^3 является линейным уравнением первого порядка. Чтобы решить его, мы воспользуемся методом интегрирующего множителя.

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель. Уравнение можно привести к уравнению вида d(y*e^(-2x^2)) = -4x^3 * e^(-2x^2) dx, где e^(-2x^2) является интегрирующим множителем.

Шаг 2: Проинтегрируем обе части уравнения. ∫ d(y*e^(-2x^2)) = ∫ -4x^3 * e^(-2x^2) dx

Интегрируя обе части, получим: y*e^(-2x^2) = ∫ -4x^3 * e^(-2x^2) dx

Шаг 3: Решим определенный интеграл. Для вычисления определенного интеграла ∫ -4x^3 * e^(-2x^2) dx нам потребуется использовать метод интегрирования по частям. Результат будет представлять собой функцию F(x), которую мы подставим в левую часть уравнения.

Шаг 4: Интегрируем обе части уравнения. y*e^(-2x^2) = F(x) + C

где F(x) - результат интегрирования по частям и C - постоянная интегрирования.

Шаг 5: Разрешим уравнение относительно y. Разделим обе части уравнения на e^(-2x^2), чтобы получить y: y = (F(x) + C) * e^(2x^2)

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения имеет вид: y = (F(x) + C) * e^(2x^2)

Где F(x) - результат интегрирования по частям, C - постоянная интегрирования, которую можно определить с помощью начальных условий или другой информации, заданной в задаче.