Question

Упростите выражение: sin^4x + sin^2x * cos^2x - 1

Answer 1

Ответ:

$sin^4x+sin^2x\cdot cos^2x-1=\\\\=(sin^4x+2\, sin^2x\cdot cos^2x+cos^4x)-sin^2x\cdot cos^2x-cos^4x-1=\\\\=(\underbrace {sin^2x+cos^2x}_{1})^2-cos^4x-sin^2x\cdot cos^2x-1=\\\\=1-cos^4x-sin^2x\cdot cos^2x-1=-cos^2x\, (\underbrace {cos^2x+sin^2x}_{1})=-cos^2x$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Воспользуемся формулой для квадрата синуса и косинуса:

$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$

Теперь можем заменить $\sin^2(x)$ в исходном выражении:

$\sin^4(x) + \sin^2(x) \cdot \cos^2(x) - 1 = \sin^4(x) + (1 - \cos^2(x)) \cdot \cos^2(x) - 1$

Раскроем скобки:

$\sin^4(x) + \cos^2(x) - \cos^4(x) - 1$

Заменим $\cos^2(x)$ на $1 - \sin^2(x)$:

$\sin^4(x) + (1 - \sin^2(x)) - \cos^4(x) - 1$

Уберем скобки:

$\sin^4(x) + 1 - \sin^2(x) - \cos^4(x) - 1$

Обратите внимание, что $1 - 1$ сокращается:

$\sin^4(x) - \sin^2(x) - \cos^4(x)$

Теперь заменим $\cos^4(x)$ на $(1 - \sin^2(x))^2$:

$\sin^4(x) - \sin^2(x) - (1 - \sin^2(x))^2$

Раскроем скобку:

$\sin^4(x) - \sin^2(x) - (1 - 2\sin^2(x) + \sin^4(x))$

Сократим подобные члены:

$\sin^4(x) - \sin^2(x) - 1 + 2\sin^2(x) - \sin^4(x)$

Сократим $\sin^4(x)$ с $-\sin^4(x)$:

$-\sin^2(x) - 1 + 2\sin^2(x)$

Теперь сложим $-\sin^2(x)$ и $2\sin^2(x)$:

$\sin^2(x) - 1$

Таким образом, упрощенное выражение равно:

$\sin^2(x) - 1$