Question

1-2,5(sinx+cosx)=0, найти x

Answer 1

$1-2,5(sinx+cosx)=0\Leftrightarrow 2,5(sinx+cosx)=1\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow 2,5\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )=1\Leftrightarrow sin\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )=\frac{1}{2,5\sqrt{2}}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=(-1)^k\cdot arcsin\left ( \frac{\sqrt{2}}{5} \right )+\pi k\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow x=(-1)^k\cdot arcsin\left ( \frac{\sqrt{2}}{5} \right )-\frac{\pi}{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, нужно решить уравнение $1 - 2.5(\sin(x) + \cos(x)) = 0$. Давайте начнем:

$1 - 2.5(\sin(x) + \cos(x)) = 0$

Раскроем скобки:

$1 - 2.5\sin(x) - 2.5\cos(x) = 0$

Перенесем все термы на одну сторону:

$-2.5\sin(x) - 2.5\cos(x) = -1$

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования уравнения. Заметим, что $-2.5$ является коэффициентом, который можно вынести за скобку:

$-2.5(\sin(x) + \cos(x)) = -1$

Теперь поделим обе части уравнения на $-2.5$:

$\sin(x) + \cos(x) = \frac{-1}{-2.5} = \frac{2}{5}$

Мы можем использовать тригонометрические идентичности для преобразования левой части уравнения. Например, можно представить $\sin(x)$ и $\cos(x)$ в виде суммы или разности синусов и косинусов с различными углами:

$\sin(x) = \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$ $\cos(x) = \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$

Где $a$ и $b$ - некоторые углы. Давайте найдем такие углы $a$ и $b$, чтобы их сумма или разность давала $\frac{2}{5}$:

$\sin(x) + \cos(x) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) + \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$

Мы хотим, чтобы это равнялось $\frac{2}{5}$. Заметим, что у нас есть два одинаковых члены $\cos(a)\sin(b)$ и $-\sin(a)\cos(b)$, поэтому они будут взаимно уничтожаться. Мы можем записать уравнение так:

$\sin(a)\cos(b) - \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \frac{2}{5}$

После сокращений:

$\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \frac{2}{5}$

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество для разности углов:

$\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b) = \frac{2}{5}$

Таким образом, мы получили уравнение $\cos(a + b) = \frac{2}{5}$, где $a + b = x$. Теперь нам нужно найти угол, у которого косинус равен $\frac{2}{5}$. Обратите внимание, что косинус является функцией четырех квадрантов, поэтому есть бесконечное количество решений. Один из таких углов, у которого косинус равен $\frac{2}{5}$, можно найти, используя функцию обратного косинуса (арккосинус):

$a + b = \cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)$

$x = \cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)$

Окончательный ответ: $x = \cos^{-1}\left(\frac{2}{5}\right)$