Question

Найдите наибольшее натуральное n, для которого число 1000 факториал делится на 3n

Answer 1

Ответ:

3^(497).

Объяснение:

Answer 2

Чтобы число 1000 факториал (1000!) делилось на 3n, необходимо, чтобы в его разложении на простые множители было достаточно множителей 3. Мы знаем, что простые множители числа n! можно найти с помощью формулы Лежандра: p^k = floor(n/p) + floor(n/p^2) + floor(n/p^3) + ..., где p - простое число, k - наибольшее число, для которого p^k ≤ n.

В нашем случае, нам нужно найти наибольшее n, для которого 1000! делится на 3n. Рассмотрим множители 3 в разложении 1000! на простые множители.

Сначала посчитаем, сколько раз число 3 входит в 1000!. Используя формулу Лежандра, получаем:

floor(1000/3) + floor(1000/3^2) + floor(1000/3^3) + ... = 333 + 111 + 37 + 12 + 4 + 1 = 498.

Таким образом, число 3 входит в разложение 1000! на простые множители 498 раз.

Для того чтобы число 1000! делилось на 3n, количество множителей 3 в разложении 1000! должно быть не меньше n. То есть, n ≤ 498.

Следовательно, наибольшее натуральное n, для которого число 1000 факториал делится на 3n, равно 498.